第34讲 数列求和 1.若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为( )A．2n＋n2－1B．2n＋1＋n2－1C．2n＋1＋n2－2D．2n＋n2－2 2.已知数列{an}的通项公式是an＝，若Sn＝10，则n的值是( )A．11B．99C．120D．121 3.数列a1＋2，…，ak＋2k，…，a10＋20共有十项，且其和为240，则a1＋…＋ak＋…＋a10的值为( )A．31B．120C．130D．185 4.若f(n)＝2＋24＋27＋210＋…＋23n＋10(n∈N*)，则f(n)等于( )A.(8n－1)B.(8n＋1－1)C.(8n＋3－1)D.(8n＋4－1) 5.＋＋＋…＋＝( )A.B.C.D. 6.已知数列{an}的前n项和Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，则S11＋S22－S29＝______． 7.(2022·陕西模拟)数列{an}中，a1＝，前n项和Sn满足Sn＋1－Sn＝()n＋1(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式an以及前n项和Sn；(2)若S1，t(S1＋S2)，3(S2＋S3)成等差数列，求实数t的值．4\n 1.已知数列{an}满足a1＝1，an＋an＋1＝()n(n∈N*)，Sn＝a1＋a2×4＋a3×42＋…＋an×4n－1，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得5Sn－4nan＝______． 2.如果有穷数列a1，a2，…，am(m为正整数)满足条件：a1＝am，a2＝am－1，…，am＝a1，即ai＝am＋1－i(i＝1，2，…，m)，则称其为“对称”数列．例如：1，2，5，2，1，与数列8，4，2，4，8都是“对称”数列．已知在2022项的“对称”数列{cn}中，c1006，c1007，…，c2022是以1为首项，2为公差的等差数列，则数列{cn}的所有项的和为________________． 3.已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，点Pn(n，Sn)都在函数f(x)＝x2＋2x的图象上，且过点Pn(n，Sn)的切线的斜率为Kn.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝2Knan，求数列{bn}的前n项和Tn.第34讲巩固练习1．C 2.C 3.C4．D 解析：易知f(n)表示首项为2，公比为8的等比数列的前n＋4项的和，利用公式得f(n)＝(8n＋4－1)，选D，极易错选A.5．B 解析：令Sn＝＋＋＋…＋，①4\n则Sn＝＋＋＋…＋＋，②由①－②得，Sn＝＋＋＋…＋－＝－⇒Sn＝2－－＝.6．－80解析：当n为偶数时，Sn＝(1－5)＋(9－13)＋…＝×(－4)＝－2n；当n为奇数时，Sn＝1＋(－5＋9)＋(－13＋17)＋…＝1＋4×＝2n－1；所以S11＋S22－S29＝2×11－1－2×22－(2×29－1)＝－80.7．解析：(1)由Sn＋1－Sn＝()n＋1得，an＋1＝()n＋1(n∈N*)，又a1＝，故an＝()n(n∈N*)．从而Sn＝＝[1－()n](n∈N*)．(2)由(1)可得S1＝，S2＝，S3＝.由S1，t(S1＋S2)，3(S2＋S3)成等差数列可得＋3×(＋)＝2×(＋)t，解得t＝2.提升能力1．n解析：由题意，Sn＝a1＋a2×4＋a3×42＋…＋an×4n－1，①两边同乘以4，得4Sn＝a1×4＋a2×42＋…＋an－1×4n－1＋an×4n，②由①＋②，得5Sn＝a1＋(a1＋a2)×4＋(a2＋a3)×42＋…＋(an－1＋an)×4n－1＋an×4n，又a1＝1，an＋an＋1＝()n，4\n所以a1＋a2＝，a2＋a3＝()2，…，所以5Sn＝1＋1＋1＋…＋1,\s\do4(共n个))＋an×4n，故5Sn－4nan＝n.2．2×10062－1解析：由题意得S2022－S1005＝1006c1006＋×2＝1006＋1006×1005＝10062.由对称数列得知，S1005＝(S2022－S1005)－c1006＝10062－1，所以S2022＝2×10062－1.3．解析：(1)因为点Pn(n，Sn)都在函数f(x)＝x2＋2x的图象上，所以Sn＝n2＋2n(n∈N*)，当n＝1时，a1＝S1＝1＋2＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－[(n－1)2＋2(n－1)]＝2n＋1；①当n＝1时，a1＝3也满足①式．所以数列{an}的通项公式为an＝2n＋1(n∈N*)．(2)由f(x)＝x2＋2x，求导可得f′(x)＝2x＋2，因为过点Pn(n，Sn)的切线的斜率为Kn，所以Kn＝2n＋2，又因为bn＝2Kn·an，所以bn＝22n＋2(2n＋1)＝4(2n＋1)·4n，所以Tn＝4×3×4＋4×5×42＋4×7×43＋…＋4(2n＋1)·4n，①由①×4得，4Tn＝4×3×42＋4×5×43＋4×7×44＋…＋4(2n＋1)·4n＋1，②由①－②得，－3Tn＝4×[3×4＋2(42＋43＋…＋4n)－(2n＋1)·4n＋1]＝4×[3×4＋2×－(2n＋1)·4n＋1]，所以Tn＝·4n＋2－(n∈N*)．4
