第13讲 函数与方程 1.函数f(x)＝log2x－的零点所在区间为( )A．(0，)B．(，1)C．(1，2)D．(2，3) 2.(2022·北京卷)函数f(x)＝x－()x的零点个数为( )A．0B．1C．2D．3 3.设函数f(x)＝log3－a在区间(1，2)内有零点，则实数a的取值范围是( )A．(－1，－log32)B．(0，log32)C．(log32，1)D．(1，log34) 4.已知函数y＝x(x－2)(x＋2)的图象如图所示，设f(x)＝x(x－2)(x＋2)＋1，则函数f(x)( )A．当x<－2时，恰有一个零点B．当－2<x<0时，恰有一个零点C．当0<x<2时，恰有一个零点D．当x>2时，恰有一个零点 5.某同学在求方程lgx＝2－x的近似解(精确到0.1)时，设f(x)＝lgx＋x－2，发现f(1)<0，f(2)>0，他用“二分法”又取了4个值，通过计算得到方程的近似解为x≈1.8，那么他所取的4个值中的第二个值为________． 6.(2022·山东卷)已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0且a≠1)，当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝______． 7.证明：方程x2－x－3＝0在[－2，3]上恰有两个实数解．3\n 1.(2022·湖北卷)函数f(x)＝xcos2x在区间[0，2π]上的零点个数为( )A．2B．3C．4D．5 2.对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝，设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－1)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是( )A．(－1，1]∪(2，＋∞)B．(－2，－1]∪(1，2]C．(－∞，－2)∪(1，2]D．[－2，－1] 3.已知二次函数y＝x2＋2mx＋2m＋1.(1)若函数有两个零点，其中一个零点在区间(－1，0)内，另一零点在区间(1，2)内，求m的值；(2)若函数的两个零点均在区间(0，1)内，求m的取值范围．第13讲巩固练习1．C 解析：由题可知，f()＝－3，f(1)＝－1，f(2)＝，故而f(1)·f(2)<0，所以正确答案为C.2．C 解析：在同一坐标系内分别作出函数f(x)与g(x)的图象，由图像知，f(x)与g(x)函数图象有两个交点，故选C.3．C 解析：f(x)＝log3(1＋)－a在(1,2)上是减函数，由题设有f(1)>0，f(2)<0，解得a∈(log32,1)，故选C.4．A 解析：函数y＝x(x－2)(x＋2)有三个零点，分别为－2,0,2；函数f(x)＝x(x－2)(x＋2)＋1的图象是在函数y＝x(x＋2)(x－2)的基础上向上平移1个单位，此时f(－2)＝1，f(－3)＝－14，f(0)＝1，f(1)＝－2，f(2)＝1，因此三个零点分别在区间(－3，－2)，(0,1)，(1,2)内．5．1.75解析：按照“二分法”又取的第一个值是1.5，第二个值是1.5与2的中间值1.75.6．2解析：因为2<a<3，所以f(x)＝logax＋x－b为定义域上的严格单调函数，且f(2)＝loga2＋2－b，f(3)＝loga3＋3－b，易知loga2∈(0,1)，2－b∈(－2，－1)，所以f(2)＝loga2＋2－b<0；同理loga3∈(1,2)，3－b∈(－1,0)，所以f(3)＝loga3＋3－b>0，所以f(2)·f(3)<0，由x0∈(n，n＋1)，n∈N*知n＝2.7．证明：设f(x)＝x2－x－3＝(x－)2－，3\n由于f(－2)＝f(3)＝3>0，f()＝－<0，因此函数在[－2，]，[，3]内至少有一个零点．又因为函数f(x)在区间[－2，]上单调递减，在区间[，3]上单调递增，故函数在[－2，]，[，3]上都只有一个零点，从而函数在[－2,3]上恰有两个零点，即方程x2－x－3＝0在[－2,3]上恰有两个实数解．提升能力1．B 解析：令f(x)＝0，即2x＝，分别作出y1＝2x，y2＝的图象，易知，当x1∈(1，x0)时，y2>y1，所以f(x1)<0；当x2∈(x0，＋∞)时，y1>y2，所以f(x2)>0，故选B.2．B 解析：f(x)＝＝，则f(x)的图象如图，因为函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，所以函数y＝f(x)与y＝c的图象有两个交点，由图象可得－2<c≤－1，或1<c≤2，故正确答案选B.3．解析：(1)由零点存在定理得⇒⇒⇒－<m<－.(2)根据抛物线y＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点落在区间(0,1)内，则⇒－<m＜1－.3
