第50讲 空间角及计算 1.平面α的斜线与α所成的角为30°，则此斜线和α内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值为( )A．30°B．60°C．90°D．150° 2.在边长为a的正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B－AD－C后，BC＝a，这时二面角B－AD－C的大小为( )A．30°B．45°C．60°D．90° 3.四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD＝2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角等于( )A．30°B．45°C．60°D．90° 4.如右图所示，是一个正方体的表面展开图，A、B、C均为棱的中点，D是顶点，则在正方体中，异面直线AB和CD的夹角的余弦值为( )A.B.C.D. 5.二面角α－l－β的平面角为120°，A、B∈l，AC⊂α，BD⊂β，AC⊥l，BD⊥l，若AB＝AC＝BD＝1，则CD的长为______．5\n 6.把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成三棱锥C－ABD，其正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为________． 7.如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8，BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE∥AD.(1)求二面角B—AD—F的大小；(2)求直线BD与EF所成的角的余弦值． 1.正四棱锥的侧棱与底面所成的角的余弦值为自变量x，则相邻两侧面所成二面的余弦值f(x)与x之间的函数解析式是( )A．f(x)＝B．f(x)＝C．f(x)＝D．f(x)＝x 2.在直角坐标系中，设A(－2，3)，B(3，－2)，沿x轴把直角坐标平面折成大小为θ的二面角后，|AB|＝4，则θ的值为________． 3.如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD，(1)PA与BD是否互相垂直，请证明你的结论；(2)求二面角P－BD－C的正切值；(3)求证：平面PAD⊥平面PAB.5\n．第50讲巩固练习1．C 2.C 3.A4．C 解析：把展开图复原为正方体后示意图如右图所示，∠EGF为AB和CD所成的角，F为正方体一棱的中点．设棱长为1，则EF＝GF＝，EG＝.所以cos∠EGF＝.5．2 解析：过B作BE綊AC，连接CE、DE.则∠DBE即为二面角α－l－β的平面角．易证CE⊥DE，所以CD＝＝＝＝2.6.解析：根据这两个视图可以推知折起后二面角C－BD－A为直二面角，其侧视图是一个两直角边长为的直角三角形，其面积为.7．解析：(1)因为AD与两圆所在的平面均垂直，5\n所以AD⊥AB，AD⊥AF，故∠BAF是二面角B—AD—F的平面角．依题意可知，四边形ABFC是正方形，所以∠BAF＝45°，即二面角B－AD－F的大小为45°.(2)连接OD，则OD∥EF，所以∠ODB为异面直线BD与EF所成的角．在Rt△ABD中，BD＝10，OA＝OB＝3.因为四边形ABFC是正方形，所以DB⊥AF.又AD⊥平面ABFC，所以OB⊥平面DAO，所以OB⊥OD，故cos∠ODB＝＝＝.提升能力1．C 解析：令侧棱长为a，相邻侧面的二面角为2θ，则tanθ＝＝所以cos2θ＝＝.2．60°3．解析：(1)PA与BD互相垂直，证明如下：取BC的中点O，连AO，交BD于点E，连PO，因为PB＝PC，所以PO⊥BC.又因为平面PBC⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，由于Rt△ABO≌Rt△BCD，所以∠BEO＝∠OAB＋∠DBA＝∠DBC＋∠DBA＝90°，所以BD⊥AO，所以PA⊥BD.(2)由(1)，易知∠PEO为二面角P－BD－C的平面角，设AB＝BC＝PB＝PC＝2CD＝2a，则PO＝a，OE＝a，tan∠PEO＝＝，所以二面角P－BD－C的正切值为.(3)取PB的中点N，连CN，因为PC＝BC，所以CN⊥PB.5\n又因为平面PBC⊥平面PAB，所以CN⊥平面PAB，取PA中点M，连DM、MN，则由MN∥AB∥DC，MN＝AB＝DC，得MNCD为平行四边形，所以CN∥DM，所以DM⊥平面PAB，又因为DM⊂平面PAB，所以平面PAD⊥平面PAB.5
