易失分点清零(九) 解析几何1．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是( )．A．(2,0)B．(－2,0)C．(4,0)D．(－4,0)解析 由抛物线方程y2＝－8x知2p＝8，所以＝2，由开口向左知，焦点坐标是(－2,0)，故选B.答案 B2．若PQ是圆x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是A(1,2)，则直线PQ的方程是( )．A．x＋2y－3＝0B．x＋2y－5＝0C．2x－y＋4＝0D．2x－y＝0解析 结合圆的几何性质易知直线PQ过点A(1,2)，且和直线OA垂直，故其方程为y－2＝－(x－1)，整理得x＋2y－5＝0.答案 B3．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( )．A．(x－2)2＋y2＝5B．x2＋(y－2)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5D．x2＋(y＋2)2＝5解析 根据圆自身的对称性，原圆心(－2,0)对称后的圆心(2,0)，两圆为等圆，不同处在于圆心变化了，所以对称后圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.答案 A4．已知双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为c(c为双曲线的半焦距长)，则双曲线的离心率为( )．A.B.C.D.解析 双曲线的一个焦点为(c,0)，一条渐近线方程为y＝x，即bx－ay＝0，所以焦点到渐近线的距离为＝c，整理得b2＝a2，所以有c2－a2＝a2，c2＝a25\n，即c＝a，离心率e＝，选B.答案 B5．已知圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的圆心为抛物线y2＝4x的焦点，且与直线3x＋4y＋2＝0相切，则该圆的方程为( )．A．(x－1)2＋y2＝B．x2＋(y－1)2＝C．(x－1)2＋y2＝1D．x2＋(y－1)2＝1解析 因为抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，所以a＝1，b＝0.又根据＝1＝r，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝1.答案 C6．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F与双曲线－＝1的一个焦点重合，直线y＝x－4与抛物线交于A，B两点，则|AB|等于( )．A．28B．32C．20D．40解析 双曲线－＝1的焦点坐标为(±4,0)，故抛物线的焦点F的坐标为(4,0)，因此p＝8，故抛物线方程为y2＝16x，易知直线y＝x－4过抛物线的焦点．所以|AB|＝＝＝32(α为直线AB的倾斜角)．答案 B7．(2022·兰州诊断)若直线mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为( )．A．至多一个B．2C．1D．0解析 ∵直线mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4没有交点，∴>2，∴m2＋n2<4，∴＋<＋＝1－m2<1，∴点(m，n)在椭圆＋＝1的内部，∴过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点有2个，故选B.答案 B8．经过点A(3,2)且在两轴上截距相等的直线方程是________．5\n解析 当直线过坐标原点时，直线方程为2x－3y＝0；当直线不过坐标原点时，设直线在两坐标轴上的截距为a，由＋＝1，得a＝5，所以直线方程为x＋y－5＝0.答案 2x－3y＝0或x＋y－5＝09．已知l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l1∥l2的充要条件是________．解析 由l1∥l2知a(a－2)－3＝0，解得a＝3或a＝－1.检验当a＝3时两直线重合，舍去．故a＝－1.答案 a＝－110．若圆C的半径为1，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则符合条件的圆C的个数为________．解析 设圆心C(a，b)，则解得或或或答案 411．已知椭圆＋＝1的离心率等于，则m＝________.解析 (1)当椭圆的焦点在x轴上时，则由方程，得a2＝4，即a＝2.又e＝＝，所以c＝，m＝b2＝a2－c2＝22－()2＝1.(2)当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的方程为＋＝1.则由方程，得b2＝4，即b＝2.又e＝＝，故＝，解得＝，即a＝2b，所以a＝4.故m＝a2＝16.综上，m＝1或16.答案 1或1612．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过F作两条相互垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N.求证：直线MN恒过定点．证明 由题设，知F(1,0)，直线AB的斜率存在且不为0，设lAB：y＝k(x－1)(k≠0)，代入y2＝4x，得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，得xM＝＝，又yM＝k(xM－1)＝，故M.因为CD⊥AB，所以kCD＝－.5\n以－代k，同理，可得N(2k2＋1，－2k)．所以直线MN的方程为(y＋2k)＝(x－2k2－1)，化简整理，得yk2＋(x－3)k－y＝0，该方程对任意k恒成立，故解得故不论k为何值，直线MN恒过定点(3,0)．13.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的3倍且经过点M(3,1)．平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m≠0)，且交椭圆于A，B两不同点．(1)求椭圆的方程；(2)求m的取值范围；(3)设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，求证：k1＋k2＝0.(1)解 设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，⇒所求椭圆的方程为＋＝1.(2)解 ∵直线l∥OM且在y轴上的截距为m，∴直线l的方程为y＝x＋m.由⇒2x2＋6mx＋9m2－18＝0.∵直线l交椭圆于A，B两点，∴Δ＝(6m)2－4×2×(9m2－18)>0⇒－2<m<2，所以m的取值范围是(－2,0)∪(0,2)．(3)证明 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则k1＝，k2＝.由2x2＋6mx＋9m2－18＝0，得x1＋x2＝－3m，x1x2＝m2－9.又y1＝x1＋m，y2＝x2＋m，5\n代入k1＋k2＝，整理得k1＋k2＝＝＝0，∴k1＋k2＝0.5
