小题专项集训(十四) 直线与圆(时间：40分钟 满分：75分)一、选择题(每小题5分，共50分)1.已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为( )．A．1B.C.D．2解析 直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0间的距离d＝＝，故应选B.答案 B2．已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＝0的圆心在直线x＋y＝1上，则D与E的关系是( )．A．D＋E＝2B．D＋E＝1C．D＋E＝－1D．D＋E＝－2解析 ∵圆x2＋y2＋Dx＋Ey＝0的圆心在直线x＋y＝1上，∴－－＝1，即D＋E＝－2，故应选D.答案 D3．(2022·济南二模)直线l1：kx＋(1－k)y－3＝0和l2：(k－1)x＋(2k＋3)y－2＝0互相垂直，则k＝( )．A．－3或－1B．3或1C．－3或1D．－1或3解析 l1⊥l2⇔k(k－1)＋(1－k)(2k＋3)＝0⇔(1－k)(k＋3)＝0⇔k＝1或k＝－3.答案 C4．圆x2＋y2－ax＋2＝0与直线l相切于点A(3,1)，则直线l的方程为( )．A．2x－y－5＝0B．x－2y－1＝0C．x－y－2＝0D．x＋y－4＝0解析 由已知条件可得32＋12－3a＋2＝0，解得a＝4，此时圆x2＋y2－4x＋2＝0的圆心为C(2,0)，半径为，则直线l的方程为y－1＝－(x－3)＝－x＋3，即得x＋y－4＝0，故应选D.答案 D5．(2022·乌鲁木齐三模)在圆x2＋y2＋2x－4y＝0内，过点(0,1)的最短弦所在直线的倾斜角是( )．4\nA.B.C.D.解析 易知圆的圆心为(－1,2)，过点(0,1)的最长弦(直径)斜率为－1，且最长弦与最短弦垂直，∴过点(0,1)的最短弦所在直线的斜率为1，倾斜角是.答案 B6．(2022·安徽省江南十校联考)若点P(1,1)为圆C：(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为( )．A．2x＋y－3＝0B．x－2y＋1＝0C．x＋2y－3＝0D．2x－y－1＝0解析 易知圆的圆心为C(3,0)；据圆的垂径定理知MN⊥PC.∵kPC＝－，∴kMN＝2.∴直线MN方程为：y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.答案 D7．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是( )．A．30B．18C．6D．5解析 由圆x2＋y2－4x－4y－10＝0知圆心坐标为(2,2)，半径为3.则圆上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离为：＋3＝5＋3，最小距离为：5－3，故最大距离与最小距离的差为6.答案 C8．(2022·宁德模拟)若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值是( )．A．4B．2C.D.解析 圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4，由直线被圆截得的弦长为4可知直线通过圆心，即2a·(－1)－b·2＋2＝0，即a＋b＝1，故＋＝(a＋b)·＝2＋＋≥4，当且仅当a＝b＝时等号成立．答案 A9．(2022·豫东、豫北十所名校联考)圆心在曲线y＝(x>0)上，且与直线3x＋4y＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为( )．4\nA．(x－2)2＋2＝9B．(x－3)2＋(y－1)2＝2C．(x－1)2＋(y－3)2＝2D．(x－)2＋(y－)2＝9解析 设所求圆的圆心坐标是(a>0)，则点(a>0)到直线3x＋4y＋3＝0的距离d＝＝≥＝3，当且仅当3a＝，即a＝2时取等号，因此所求圆的圆心坐标是，半径是3，所求圆的方程为(x－2)2＋2＝9，选A.答案 A10．点P是以F1、F2为焦点的椭圆上一点，过焦点作∠F1PF2外角平分线的垂线．垂足为M，则点M的轨迹是( )．A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析 如图，延长F2M交F1P延长线于N.∵|PF2|＝|PN|，∴|F1N|＝2a.连结OM，则在△NF1F2中，OM为中位线，则|OM|＝|F1N|＝a.∴M的轨迹是圆．答案 A二、填空题(每小题5分，共25分)11．(2022·常州模拟)过点P(－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为________．解析 分两种情况：(1)直线l过原点时，l的斜率为－，∴直线方程为y＝－x；(2)l不过原点时，设方程为＋＝1，将x＝－2，y＝3代入得a＝1，∴直线方程为x＋y＝1.综上：l的方程为x＋y－1＝0或3x＋2y＝0.答案 x＋y－1＝0或3x＋2y＝012．(2022·长春一模)已知直线l1与圆x2＋y2＋2y＝0相切，且与直线l2：3x＋4y－6＝0平行，则直线l1的方程是________．解析 ∵l1∥l2，∴可设直线l1：3x＋4y＋b＝0.∵l1与圆x2＋(y＋1)2＝1相切，∴＝1，∴b＝9或b＝－1，4\n∴l1的方程为3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0.答案 3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝013．过点P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段没有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是________．解析 易知PA的斜率kPA＝＝－1，PB的斜率kPB＝＝1，又直线l与线段AB没有公共点．∴直线l的斜率k的取值范围为k<－1或k>1，结合正切函数图象得倾斜角的范围是.答案 14．过点M的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为________．解析 由题意得，当CM⊥AB时，∠ACB最小，从而直线方程y－1＝－，即2x－4y＋3＝0.答案 2x－4y＋3＝015．(2022·苏州一模)过直线l：y＝2x上一点P作圆C：(x－8)2＋(y－1)2＝2的切线l1，l2，若l1，l2关于直线l对称，则点P到圆心C的距离为________．解析 如图，据题意，∠1＝∠2，∠3＝∠4；∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴2∠2＋2∠3＝180°，∴∠2＋∠3＝90°，∴CP⊥l.∴P到圆心C的距离等于C到l的距离d＝＝3.答案 34
