小题专项集训(九) 数列(一)(时间：40分钟 满分：75分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q＝( )．A．3B．4C．5D．6解析 将两个已知式作差得3a3＝a4－a3，则公比q＝＝4.答案 B2．在等比数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝( )．A．135B．100C．95D．80解析 由等比数列的性质知a1＋a2，a3＋a4，…，a7＋a8仍然成等比数列，公比q＝＝＝，∴a7＋a8＝(a1＋a2)q4－1＝40×3＝135.答案 A3．在等差数列{an}中，已知a5＋a7＝10，Sn是数列{an}的前n项和，则S11的值是( )．A．45B．50C．55D．60解析 S11＝＝＝55.答案 C4．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要( )．A．6秒钟B．7秒钟C．8秒钟D．9秒钟解析 设至少需n秒钟，则1＋21＋22＋…＋2n－1≥100，∴2n－1≥100，∴n≥7.答案 B5．设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和．若S10＝S11，则a1＝( )．A．18B．20C．22D．24解析 由已知S10＝S11，可得a11＝0，又由等差数列公式得a11＝a1＋10d，即有a14\n＝0－10×(－2)＝20，故应选B.答案 B6．设{an}是首项大于零的等比数列，则“a1<a2”是“数列{an}是递增数列”的( )．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析 据题意若数列{an}为递增数列，则必有a1<a2，反之由于数列为首项大于零的等比数列，且a1<a2⇒1<＝q，故数列为递增数列，因此“a1<a2”是“数列{an}为递增数列”的充要条件．答案 C7．(2022·日照模拟)已知等比数列{an}的前n项和Sn＝t·5n－2－，则实数t的值为( )．A．4B．5C.D.解析 ∵a1＝S1＝t－，a2＝S2－S1＝t，a3＝S3－S2＝4t，∴由{an}是等比数列，知2＝×4t，显然t≠0，所以t＝5.答案 B8．(2022·长春模拟)在数列{an}中，an＝，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是( )．A．a1，a50B．a1，a44C．a45，a44D．a45，a50解析 an＝＝1＋，∴当n∈[1,44]时，{an}单调递减，当n∈[45,100]时，{an}单调递减，结合函数f(x)＝的图象可知，(an)max＝a45，(an)min＝a44，选C.答案 C9．(2022·深圳模拟)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若S1＝1，＝4，则的值为( )．A.B.C.D．4解析 由等差数列的性质可知S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，由＝4，得4\n＝3，则S6－S4＝5S2，所以S6＝9S2，＝.答案 A10．已知a，b，a＋b成等差数列，a，b，ab成等比数列，且logc(ab)>1，则c的取值范围是( )．A．0<c<1B．1<c<8C．c>8D．0<c<1或c>8解析 因为a，b，a＋b成等差数列，所以2b＝a＋(a＋b)，即b＝2a.又因为a，b，ab成等比数列，所以b2＝a×ab，即b＝a2.所以a＝2，b＝4，因此logcab＝logc8>1＝logcc，有1<c<8，故选B.答案 B二、填空题(每小题5分，共25分)11．已知{an}是递增等比数列，a2＝2，a4－a3＝4，则此数列的公比q＝________.解析 由已知得a4－a3＝a2q2－a2q＝2q2－2q＝4⇒q＝2或q＝－1，由于{an}是递增等比数列，所以q＝2.答案 212．(2022·苏锡常镇调研)两个等差数列的前n项和之比为，则它们的第7项之比为________．解析 设两个数列{an}，{bn}的前n项和为Sn，Tn，则＝，而＝＝＝＝3.答案 3∶113．将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 10………………按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________．解析 前n－1行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)个，即个，因此第n4\n行第3个数是全体正整数中第＋3个，即为.答案 14．(2022·威海模拟)数列{an}的前n项和Sn＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝________.解析 当n＝1时，a1＝S1＝－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－5.∴an＝令2n－5≤0，得n≤，∴当n≤2时，an<0，当n≥3时，an>0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝－(a1＋a2)＋(a3＋a4＋…＋a10)＝S10－2S2＝66.答案 6615．已知f(x)＝，各项均为正数的数列{an}满足a1＝1，an＋2＝f(an)．若a2010＝a2012，则a20＋a11的值是________．解析 ∵a1＝1，an＋2＝f(an)＝，∴a3＝，a5＝，a7＝，a9＝，a11＝，又由a2010＝a2012＝，可解得a2010＝a2012＝，∵an>0，∴a2010＝a2012＝，而由＝可得数列{an}的偶数项均为，∴a20＋a11＝＋＝.答案 4
