小题专项集训(五) 导数及其应用(时间：40分钟 满分：75分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．(2022·西安十校联考)若函数y＝f(x)可导，则“f′(x)＝0有实根”是“f(x)有极值”的( )．A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A2．(2022·济南模拟)曲线f(x)＝x2(x－2)＋1在点(1，f(1))处的切线方程为( )．A．x＋2y－1＝0B．2x＋y－1＝0C．x－y＋1＝0D．x＋y－1＝0解析 ∵f(x)＝x2(x－2)＋1＝x3－2x2＋1，∴f′(x)＝3x2－4x，∴f′(1)＝－1，∵f(1)＝0，∴曲线在点(1,0)处的切线方程为y＝－(x－1)，即x＋y－1＝0.答案 D3．(2022·石家庄质检)函数f(x)满足f(0)＝0，其导函数f′(x)的图象如图，则f(x)在[－2,1]上的最小值为( )．A．2 B．0C．－1 D．3解析 由函数f(x)的导函数f′(x)的图象可知，函数f(x)为一元二次函数，且其图象的对称轴为x＝－1，开口方向向上．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，∵f(0)＝0，∴c＝0，f′(x)＝2ax＋b，又f′(x)的图象过点(－1,0)与点(0,2)，则有，∴a＝1，b＝2，∴f(x)＝x2＋2x，则f(x)在[－2,1]上的最小值为f(－1)＝－1.答案 C4．(2022·山师大附中月考)如果函数y＝f(x)的图象如右图，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是( )．解析 由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，只有答案A满足．答案 A5\n5．(2022·河北四校联考)定义在R上的函数y＝f(x)满足f(3－x)＝f(x)，f′(x)>0，若x1<x2且x1＋x2>3，则有( )．A．f(x1)>f(x2)B．f(x1)<f(x2)C．f(x1)＝f(x2)D．不确定解析 依题意得，f(x1)＝f(3－x1)，当x>时，f′(x)>0，f(x)在上是增函数．若x1≥，则由已知有x2>x1≥，f(x2)>f(x1)；若x1<，则由x1<x2及x1＋x2>3得x2>3－x1>.所以f(x2)>f(3－x1)＝f(x1)．选B.答案 B6．(2022·济宁模拟)曲线y＝与x＝1，x＝4及x轴所围成的封闭图形的面积为( )．A.B.C.D.解析 所求的封闭图形的面积S＝＝.答案 A7．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是( )．A．2x－y＋3＝0B．2x－y－3＝0C．2x－y＋1＝0D．2x－y－1＝0解析 设切点坐标为(x0，x)，则切线斜率为2x0，由2x0＝2得x0＝1，故切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.答案 D8．(2022·西安质检)已知直线y＝kx是曲线y＝lnx的切线，则k的值是( )．A．eB．－eC.D．－解析 依题意，设直线y＝kx与曲线y＝lnx切于点(x0，kx0)，则有由此得x0＝e，k＝.答案 C9．已知函数f(x)的定义域为R，f′(x)为f(x)的导函数，函数y＝f′(x)的图象如图所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x2－6)>1的解集为( )．5\nA．(－3，－2)∪(2,3) B．(－，)C．(2,3) D．(－∞，－)∪(＋∞)解析 由图知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，又f(－2)＝1，f(3)＝1，所以所求不等式等价于－2<x2－6<3，解得2<x<3或－3<x<－2.答案 A10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在定义域x∈[－2,2]上表示的曲线过原点，且在x＝±1处的切线斜率均为－1.有以下命题：①f(x)是奇函数；②若f(x)在[s，t]内递减，则|t－s|的最大值为4；③若f(x)的最大值为M，最小值m，则M＋m＝0；④若对∀x∈[－2,2]，k≤f′(x)恒成立，则k的最大值为2.其中正确命题的个数为( )．A．1个B．2个C．3个D．4个解析 由题意，得函数过原点，则c＝0.又f′(x)＝3x2＋2ax＋b.则必有解得所以f(x)＝x3－4x.令f′(x)＝3x2－4＝0得x＝±.则函数在[－2,2]上的最小值是负数．由此得函数图象大致如图：得出结论是：①③正确；②④错误．故选B.答案 B二、填空题(每小题5分，共25分)11．已知f(x)＝3x2＋2x＋1.若－1f(x)dx＝2f(a)，则a＝________.解析 －1f(x)dx＝－1(3x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)＝4＝2f(a)，f(a)＝3a2＋2a＋1＝2，解得a＝－1或.答案 －1或12．已知M是曲线y＝lnx＋x2＋(1－a)x上的一点，若曲线在M处的切线的倾斜角是均不小于的锐角，则实数a的取值范围是________．解析 依题意，得y′＝＋x＋(1－a)，其中x>0.由曲线在M处的切线的倾斜角是均不小于的锐角得，对于任意正数x，均有＋x＋(1－a)≥1，即a≤＋x.注意到当x>0时，5\n＋x≥2＝2，当且仅当＝x，即x＝1时取等号，因此实数a的取值范围是(－∞，2]．答案 (－∞，2]13．(2022·荆州中学月考)若曲线f(x)＝ax5＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．解析 ∵f′(x)＝5ax4＋，x∈(0，＋∞)，∴由题意，知5ax4＋＝0在(0，＋∞)上有解．即a＝－在(0，＋∞)上有解．∵x∈(0，＋∞)，∴－∈(－∞，0)．∴a∈(－∞，0)．答案 (－∞，0)14．已知函数f(x)＝ax3－3x＋1对x∈(0,1]总有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围是________．解析 当x∈(0,1]时，不等式ax3－3x＋1≥0可化为a≥，设g(x)＝，x∈(0,1]，g′(x)＝＝－，g′(x)与g(x)随x变化情况如下表：xf′(x)＋0－f(x)4·因此g(x)的最大值为4，则实数a的取值范围是[4，＋∞)．答案 [4，＋∞)15．(2022·洛阳统考)如图，矩形ABCD内的阴影部分是由曲线f(x)＝2x2－2x及直线y＝2x围成的，现向矩形ABCD内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为________．解析 曲线f(x)＝2x2－2x与直线y＝2x的交点为(0,0)和(2,4)，曲线f(x)＝2x2－2x与x轴的交点为(0,0)和(1,0)，其顶点为5\n.因为矩形ABCD的面积为×2＝9，阴影部分的面积为(2x－2x2＋2x)dx＝＝，所以该点落在阴影部分的概率为＝.答案 5
