小题专项集训(十九) 推理证明、算法、复数(时间：40分钟 满分：75分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．复数z＝在复平面上对应的点位于( )．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析 z＝＝＝.故z在复平面上对应的点位于第二象限．答案 B2．i是虚数单位，复数＝( )．A．1－iB．1C．2－iD．2＋i解析 ＝＝＝2－i.答案 C3．①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程至少有一根的绝对值大于或等于1.以下结论正确的是( )．A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确答案 D4．P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是( )．A．P>QB．P＝QC．P<QD．由a的取值确定解析 要证P<Q，只需证P2<Q2，即证：2a＋7＋2<2a＋7＋2，即证：a2＋7a<a2＋7a＋12，即证：0<12，∵0<12成立，∴P<Q成立．故选C.答案 C5\n5．在证明f(x)＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是小前提；④函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是大前提．其中正确的命题是( )．A．①②B．②④C．①③D．②③解析 大前提是增函数的定义，小前提是函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义．答案 C6．(2022·徐州模拟)利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋<f(n)(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了( )．A．1项B．k项C．2k－1项D．2k项解析 1＋＋＋…＋－1＋＋＋…＋＝＋＋…＋，共增加了2k项，故选D.答案 D7．i为虚数单位，2013＝( )．A．0B．iC．－iD．2013解析 2013＝2013＝i2013＝i4×503＋1＝i.答案 B8．如图所示的程序框图中，循环体执行的次数是( )．A．50B．49C．100D．99解析 从程序框图反映的算法是S＝2＋4＋6＋8＋…，i的初始值为2，由i＝i5\n＋2知，执行了49次时，i＝100，满足i≥100，退出循环．答案 B9．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出函数的是( )．A．f(x)＝x2B．f(x)＝C．f(x)＝lnx＋2x－6D．f(x)＝sinx解析 由框图知输出的f(x)为奇函数且存在零点，只有f(x)＝sinx符合．答案 D10．观察下图12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10…则第几行的各数之和等于20132( )．A．2013B．2011C．1006D．1007解析 由题设图知，第一行各数和为1，第二行各数和为9＝32，第三行各数和为25＝52，第四行各数和为49＝72，…，∴第n行各数和为(2n－1)2.令2n－1＝2013，解得n＝1007.答案 D二、填空题(每小题5分，共25分)11．设a，b，c，d∈R，则复数(a＋bi)(c＋di)为实数的充要条件是________．5\n解析 因为(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i，a，b，c，d∈R，所以复数(a＋bi)(c＋di)为实数的充要条件是ad＋bc＝0.答案 ad＋bc＝012．已知程序框图如图所示，该程序运行后，为使输出的b值为16，则循环体的判断框内①处应填________．解析 a＝1时进入循环，此时b＝21＝2；a＝2时再进入循环，此时b＝22＝4；a＝3时再进入循环，此时b＝24＝16，∴a＝4时应跳出循环，∴循环满足的条件为a≤3.答案 a≤313．(2022·济南模拟)用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<n(n∈N，且n>1)，第一步要证的不等式是__________________________________________．解析 当n＝2时，左边＝1＋＋＝1＋＋，右边＝2，故填1＋＋<2.答案 1＋＋<214．观察下列等式：①cos2α＝2cos2α－1；②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1；③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；⑤cos10α＝mcos10α－1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.可以推测m－n＋p＝________.解析 m＝29＝512，p＝5×10＝50.又m－1280＋1120＋n＋p－1＝1，∴n＝－400.答案 96215．在平面几何中，△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比＝5\n，把这个结论类比到空间：在三棱锥A－BCD中(如图所示)，平面DEC平分二面角A－CD－B且与AB相交于点E，则得到的类比的结论是________．解析 在题图(1)△ABC中，作ED⊥AC于D，EF⊥BC于F，则ED＝EF，∴＝＝.类比：由题意知E到平面ADC与平面BCD的距离相等，则＝，而＝＝＝.∴＝.答案 ＝5
