活页作业 等差数列及其前n项和一、选择题1．(理)(2022·辽宁高考)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝( )A．58 B．88 C．143 D．176解析：由于{an}为等差数列，所以a1＋a11＝a4＋a8＝16，所以S11＝×11＝88.答案：B1．(文)(2022·辽宁高考)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝( )A．12 B．16 C．20 D．243．(2022·株洲模拟)下列命题中正确的个数是( )(1)若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2一定成等差数列；(2)若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c可能成等差数列；(3)若a，b，c成等差数列，则ka＋2，kb＋2，kc＋2一定成等差数列；(4)若a，b，c成等差数列，则，，可能成等差数列．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个解析：对于(1)，取a＝1，b＝2，c＝3⇒a2＝1，b2＝4，c2＝9，(1)错．对于(2)，a＝b＝c⇒2a＝2b＝2c，(2)正确．对于(3)，∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.∴(ka＋2)＋(kc＋2)＝k(a＋c)＋4＝2(kb＋2)，(3)正确．6\n对于(4),a＝b＝c≠0⇒＝＝，(4)正确．综上选B.答案：B4．(2022·吉安模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于( )A．6 B．7 C．8 D．9解析：∵a1＝－11，a4＋a6＝－6，∴2a1＋8d＝－6，∴d＝2，∴a6＝－1<0，a7＝1>0，∴S6最小．6．(金榜预测)已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋1.令bn＝(a1＋a2＋…an)，则数列{bn}的前10项和T10＝( )A．70 B．75 C．80 D．85解析：因为an＝2n＋1，所以数列{an}是一个等差数列，其首项a1＝3，其前n项和Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝＝n2＋2n，所以bn＝×Sn＝×(n2＋2n)＝n＋2，故数列{bn}也是一个等差数列，其首项为b1＝3，公差为d＝1，所以其前10项和T10＝10b1＋d＝10×3＋45＝75，故选B.答案：B二、填空题7．(2022·北京高考)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1＝，S2＝a3，则a26\n＝________.解析：∵S2＝a3，∴a1＋a2＝a3，∴d＝a3－a2＝a1＝，∴a2＝a1＋d＝1.答案：18．(理)(2022·黄山模拟)已知{an}为等差数列，若<－1，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n的值为________．解析：由条件知等差数列{an}是首项为正，公差为负的递减数列．又<－1，所以a11<0，a10>0，且a10＋a11<0.∴S20＝＝<0，S19＝＝19a10>0，故当Sn取得最小正值时n＝19.答案：198．(文)(2022·九江模拟)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99.以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n＝________.解析：由条件知a1＋a3＋a5＝3a3＝105，故a3＝35；又(a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5)＝3d＝－6，故d＝－2.∴a3＝a1＋2d＝a1－4＝35，∴a1＝39.∴Sn＝39n＋×(－2)＝－n2＋40n＝－(n－20)2＋400，∴当n＝20时，Sn取得最大值．答案：20三、解答题9．(2022·湖北高考)已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为8.(1)求等差数列{an}的通项公式；(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d，由题意知，解得或，故等差数列{an}的通项公式为：an＝－3n＋5或an＝3n－7.(2)当an＝－3n＋5时，a2，a3，a1分别为－1，－4,2，不是等比数列．当an＝3n－7时，a2，a3，a1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．6\n∴|an|＝|3n－7|＝记数列{|an|}的前n项和为Sn.当n＝1时，S1＝|a1|＝4；当n＝2时，S2＝|a1|＋|a2|＝5；当n≥3时，所以f(x)的对称轴为x＝＝，又因为f(x)的最小值是－，由二次函数图象的对称性可设：f(x)＝a2－.又f(0)＝0，所以a＝2，所以f(x)＝22－＝2x2－x.因为点(n，Sn)在函数f(x)的图象上，所以Sn＝2n2－n.当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－3(n＝1时也成立)，所以an＝4n－3(n∈N*)．6\n(2)因为bn＝＝＝，令c＝－(c≠0)，即得bn＝2n，此时数列{bn}为等差数列，所以存在非零常数c＝－，使得{bn}为等差数列．(3)cn＝＝＝2n，则cn·2cn＝2n×22n＝n×22n＋1.所以Tn＝1×23＋2×25＋…＋(n－1)22n－1＋n×22n＋1，4Tn＝1×25＋2×27＋…＋(n－1)22n＋1＋n×22n＋3，两式相减得：－3Tn＝23＋25＋…＋22n＋1－n×22n＋3＝－n·22n＋3，Tn＝＋＝.10．(文)等差数列{an}前n项和为Sn对任意n∈N*，点(n，Sn)在二次函数f(x)＝x2＋c的图象上．(1)求c，an；(2)若kn＝，求数列{kn}的前n项和Tn.①－②得Tn＝＋2－，∴Tn＝＋2×－，∴Tn＝－，6\n∴Tn＝3－.6
