课时提升作业(四十四)直线的交点坐标与距离公式一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2022·泰安模拟)点P(m-n,-m)到直线=1的距离等于( )A.B.C.D.【解析】选A.把直线方程化为nx+my-mn=0,根据点到直线的距离公式得d=【方法技巧】利用点到直线距离公式的方法在利用点到直线距离公式时,一定要将直线方程化为一般形式,且尽量不要出现系数为分数(或小数)的情况,然后利用公式求解.2.(2022·太原模拟)过两直线x-y+1=0和x+y-=0的交点,并与原点的距离等于1的直线有( )A.0条B.1条C.2条D.3条【解析】选B.由题意得两直线的交点坐标为故该点与原点的距离为1,则符合题意的直线只有1条.3.不论m为何值时,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5恒过定点( )A.(1,-)B.(-2,0)C.(2,3)D.(9,-4)【解题提示】先化成关于参数m的方程,再令其系数及常数均为0求解.【解析】选D.由(m-1)x+(2m-1)y=m-5,得(x+2y-1)m-(x+y-5)=0,所以得定点坐标为(9,-4).【加固训练】已知a,b满足a+2b=1,则直线ax+3y+b=0必过定点( )A.(-,)B.(,)-8-\nC.(,-)D.(,-)【解析】选C.由a+2b=1,知ax+3y+b=0等价于(1-2b)x+3y+b=0,即(x+3y)+(1-2x)b=0.由得即定点坐标为(,-).4.已知平面内两点A(1,2),B(3,1)到直线l的距离分别是则满足条件的直线l的条数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选C.由题知满足题意的直线l在线段AB两侧各有1条,又因为|AB|=,所以还有1条为过线段AB上的一点且与AB垂直的直线,故共3条.5.(2022·兰州模拟)一只虫子从点(0,0)出发,先爬行到直线l:x-y+1=0上的P点,再从P点出发爬行到点A(1,1),则虫子爬行的最短路程是( )A.B.2C.3D.4【解题提示】两点之间,线段最短,故可求出点(0,0)关于直线l的对称点,然后转化为两点间的距离求解.【解析】选B.点(0,0)关于直线l:x-y+1=0的对称点为(-1,1),则最短路程为=2.【加固训练】(2022·成都模拟)直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线方程为( )A.3x+4y+5=0B.3x+4y-5=0C.-3x+4y-5=0D.-3x+4y+5=0【解析】选A.直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线方程是3x-4(-y)+5=0,即3x+4y+5=0.6.已知直线y=2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线,若点A,B的坐标分别是(-4,2),(3,1),则点C的坐标为( )A.(-2,4)B.(-2,-4)-8-\nC.(2,4)D.(2,-4)【解析】选C.点A关于直线y=2x对称的点为(4,-2),且点A关于y=2x对称的点在BC上,于是BC所在的直线方程为3x+y-10=0,由得点C的坐标为(2,4).7.若点(s,t)在直线4x+3y-10=0上,则s2+t2的最小值是( )A.2B.2C.4D.2【解析】选C.因为点(s,t)在直线4x+3y-10=0上,所以4s+3t-10=0,而s2+t2表示原点与直线4x+3y-10=0上的点的距离的平方,此最小值等于原点到直线4x+3y-10=0的距离的平方.其值等于4.【误区警示】本题易出现选A的错误,错误原因是将s2+t2误认为点(s,t)到原点的距离.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2022·淄博模拟)点P为x轴上的一点,A(1,1),B(3,4),则|PA|+|PB|的最小值是 .【解析】点A(1,1)关于x轴的对称点A′(1,-1),则|PA|+|PB|的最小值是线段A′B的长.答案:9.(2022·银川模拟)若直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行,则它们之间的距离为 .【解析】由两直线平行的条件得3m=4×6,解得m=8,此时直线6x+my+14=0的方程可化为3x+4y+7=0,所以两直线3x+4y-3=0和3x+4y+7=0间的距离为d==2.答案:2【误区警示】本题求解时易不将6x+8y+14=0化简,直接求两平行线间的距离,得到d=或的错误,根本原因是没能掌握好两平行线间距离公式的应用条件.10.若直线m被两平行线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段的长为2,则m的倾斜角可以是:①15°;②30°;③45°;④60°;⑤75°.其中正确答案的序号是 .-8-\n【解析】很明显直线l1∥l2,直线l1,l2间的距离为d=,设直线m与直线l1,l2分别相交于点B,A,则|AB|=过点A作直线l垂直于直线l1,垂足为C,则|AC|=d=,则在Rt△ABC中,sin∠ABC=所以∠ABC=30°,又直线l1的倾斜角为45°,所以直线m的倾斜角为45°+30°=75°或45°-30°=15°.答案:①⑤(20分钟 40分)1.(5分)已知A,B两点分别在两条互相垂直的直线2x-y=0和x+ay=0上,且线段AB的中点为P(0,),则线段AB的长为( )A.8B.9C.10D.11【解析】选C.由已知两直线互相垂直得a=2,所以线段AB中点为P(0,5),且AB为直角三角形AOB的斜边(O为两直线的交点),由直角三角形的性质得|AB|=2|PO|=10.2.(5分)若m>0,n>0,点(-m,n)关于直线x+y-1=0的对称点在直线x-y+2=0上,那么的最小值等于 .【解题提示】由对称关系求出对称点的坐标,代入直线方程x-y+2=0,然后利用基本不等式求的最小值.【解析】由题意知(-m,n)关于直线x+y-1=0的对称点为(1-n,1+m).则1-n-(1+m)+2=0,即m+n=2.于是=(m+n)()=×≥×(5+2×2)=,当且仅当n=2m时,等号成立.答案:【加固训练】(2022·太原模拟)设A,B是x轴上的两点,点P的横坐标为3,且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程是( )A.x+y-5=0B.2x-y-1=0C.x-2y+4=0D.x+y-7=0【解析】-8-\n选D.由|PA|=|PB|知点P在AB的垂直平分线上.由点P的横坐标为3,且PA的方程为x-y+1=0,得P(3,4).直线PA,PB关于直线x=3对称,直线PA上的点(0,1)关于直线x=3的对称点(6,1)在直线PB上,所以直线PB的方程为x+y-7=0.3.(5分)(2022·杭州模拟)已知A(-2,0),B(2,0),C(0,2),E(-1,0),F(1,0),一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后,再经AC反射,落到线段AE上(不含端点),则直线FD斜率的取值范围为 .【解析】从特殊位置考虑.因为点A(-2,0)关于直线BC:x+y=2的对称点为A1(2,4),所以=4.因为点E(-1,0)关于直线AC:y=x+2的对称点为E1(-2,1),点E1(-2,1)关于直线BC:x+y=2的对称点为E2(1,4),此时直线E2F的斜率不存在,所以<kFD,即kFD∈(4,+∞).答案:(4,+∞)4.(12分)(2022·厦门模拟)已知△ABC中,A(2,-1),B(4,3),C(3,-2),求:(1)BC边上的高所在直线方程的一般式.-8-\n(2)求△ABC的面积.【解析】(1)因为kBC=5,所以BC边上的高AD所在直线斜率k=-.所以AD所在直线方程为y+1=-(x-2).即x+5y+3=0.(2)求得BC直线方程为:5x-y-17=0.点A到直线BC的距离为|BC|=.S△ABC=3.【加固训练】将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次,使点A(0,2)与点B(4,0)重合,若此时点C(7,3)与点D(m,n)重合,求m+n的值.【解析】直线AB的斜率为k=则线段AB的垂直平分线的斜率为k′=2.又线段AB的中点坐标为(2,1),故线段AB的垂直平分线方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.由已知得点C,D关于线段AB的垂直平分线对称,5.(13分)(能力挑战题)在直线l:3x-y-1=0上求一点P,使得:(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大.(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小.【解析】(1)设B关于l的对称点为B′,AB′的延长线交l于P0,在l上任取一点P(与P0不重合),则|PA|-|PB|=|PA|-|PB′|<|AB′|=|P0A|-|P0B′|=|P0A|-|P0B|,则P0即为所求.易求得直线BB′的方程为x+3y-12=0,-8-\n设B′(a,b),则a+3b-12=0,①又线段BB′的中点在l上,故3a-b-6=0.②由①②解得a=3,b=3,所以B′(3,3).所以AB′所在直线的方程为2x+y-9=0.由可得P0(2,5).(2)设C关于l的对称点为C′,与(1)同理可得C′连接AC′交l于P1,在l上任取一点P(异于P1),有|PA|+|PC|=|PA|+|PC′|>|AC′|=|P1C′|+|P1A|=|P1C|+|P1A|,故P1即为所求.又AC′:19x+17y-93=0,联立得P1【加固训练】在△ABC中,A(0,1),AB边上的高CD所在直线的方程为x+2y-4=0,AC边上的中线BE所在直线的方程为2x+y-3=0.(1)求直线AB的方程.(2)求直线BC的方程.(3)求△BDE的面积.【解析】(1)由已知得直线AB的斜率为2,所以AB边所在的直线方程为y-1=2(x-0),即2x-y+1=0.(2)由-8-\n即直线AB与直线BE的交点为B(,2).设C(m,n),则由已知条件得解得所以C(2,1).所以BC边所在直线的方程为即2x+3y-7=0.(3)因为E是线段AC的中点,所以E(1,1).所以|BE|=由得所以D所以D到BE的距离为d=所以S△BDE=·d·|BE|=-8-
