课时提升作业(十七)三角函数的图象与性质一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数y=-4sinx+1,x∈[-π,π]的单调性是( )A.在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数B.在上是增函数,在[-π,-]和[,π]上都是减函数C.在[0,π]上是增函数,在[-π,0]上是减函数D.在[,π]和[-π,-]上是增函数,在[-,]上是减函数【解析】选D.由正弦函数的图象知,函数y=4sinx,x∈[-π,π]时,在[-,]上是增函数,在[-π,-]和[,π]上是减函数.所以函数y=-4sinx+1在[-,]上是减函数,在[-π,-]和[,π]上是增函数,故选D.2.(2022·济南模拟)下列函数中周期为π且为偶函数的是 ( )A.y=sinB.y=cosC.y=sinD.y=cos【解析】选A.y=sin=-cos2x为偶函数,且周期是π,所以选A.3.(2022·郑州模拟)如果函数y=3sin(2x+φ)的图象关于直线x=对称,则|φ|的最小值为( )A.B.C.D.【解析】选A.由题意,得sin(2×+φ)=±1.所以+φ=+kπ,即φ=+kπ(k∈Z),故|φ|min=.4.已知函数f(x)=cosx在区间[a,b]上是减函数,且f(a)+f(b)=0,则a+b的值可能是( )A.0B.πC.2πD.3π【解题提示】结合余弦函数f(x)=cosx的图象解答.【解析】选B.因为f(a)+f(b)=0,-7-\n所以f(a)=-f(b).由余弦函数f(x)=cosx的图象知区间[a,b]的中点是+2kπ,(k∈Z),所以a+b=2(+2kπ)=π+4kπ(k∈Z),故a+b的可能值是π.5.(2022·大连模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,-π<φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π,且当x=时,f(x)取得最大值,则( )A.f(x)在区间[-2π,0]上是增函数B.f(x)在区间[-3π,-π]上是增函数C.f(x)在区间[3π,5π]上是减函数D.f(x)在区间[4π,6π]上是减函数【解题提示】先由题中条件确定ω与φ的值,再验证各选项即可.【解析】选A.因为f(x)的最小正周期为6π,所以ω=,因为当x=时,f(x)有最大值,所以×+φ=+2kπ(k∈Z),φ=+2kπ(k∈Z),因为-π<φ≤π,所以φ=.所以f(x)=2sin(+),由此函数验证易得,在区间[-2π,0]上是增函数,而在区间[-3π,-π]或[3π,5π]上均没单调性,在区间[4π,6π]上是增函数.二、填空题(每小题5分,共15分)6.函数y=的定义域是 .【解析】由tanx-1≥0,得tan≥1.-7-\n所以kπ+≤x<kπ+(k∈Z).答案:[kπ+,kπ+)(k∈Z)7.cos23°,sin68°,cos97°从小到大的顺序是 .【解析】sin68°=sin(90°-22°)=cos22°.因为余弦函数y=cosx在[0,π]上是单调递减的.且22°<23°<97°,所以cos97°<cos23°<cos22°.答案:cos97°<cos23°<sin68°8.(2022·天津模拟)函数f(x)=-sin(2x-),x∈[0,]的最大值是 .【解题提示】先由x的取值范围确定2x-的范围,再根据正弦曲线求解.【解析】因为x∈[0,],所以-≤2x-≤.根据正弦曲线,得当2x-=-时.sin(2x-)取得最小值为-.故f(x)=-sin(2x-)的最大值为.答案:【误区警示】解答本题易忽视函数表达式前面的负号而误填1.三、解答题(每小题10分,共20分)9.若x∈[0,π],且满足cosx≤0,求函数f(x)=的最大、最小值.【解题提示】先求x的取值范围,然后换元求解.【解析】由x∈[0,π],且满足cosx≤0,得x∈[,π].-7-\nf(x)=令t=sinx,则t∈[0,1],y=所以ymax=,ymin=2.10.已知函数f(x)=2sin(2ωx+)(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值.(2)讨论f(x)在区间[0,]上的单调性.【解析】(1)因为f(x)=2sin(2ωx+)的最小正周期为π,且ω>0.从而有=π,故ω=1.(2)因为f(x)=2sin(2x+).若0≤x≤,则≤2x+≤.当≤2x+≤,即0≤x≤时,f(x)单调递增;当<2x+≤,即<x≤时,f(x)单调递减.综上可知,f(x)在区间[0,]上单调递增,在区间(,]上单调递减.(20分钟 40分)1.(5分)(2022·哈师大附中模拟)若函数f(x)=Asin2ωx(A>0,ω>0)在x=1处取得最大值,则函数f(x+1)为( )A.偶函数 B.奇函数C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数【解析】选A.因为f(x)=Asin2ωx在x=1处取得最大值,故f(1)=A,即sin2ω=1,所以2ω=+2kπ,k∈Z.因此,f(x+1)=Asin(2ωx+2ω)-7-\n=Asin(2ωx++2kπ)=Acos2ωx,故f(x+1)是偶函数.2.(5分)(2022·邯郸模拟)已知函数f(x)=2sinωx(ω>0)在区间上的最小值是-2,则ω的最小值为( )A.B.C.2D.3【解题提示】结合正弦函数的图象解答.【解析】选B.因为ω>0,所以-ω≤ωx≤ω,由题意,结合正弦曲线易知,-ω≤-,即ω≥.故ω的最小值是.3.(5分)(2022·浦东模拟)若Sn=sin+sin+…+sin(n∈N*),则在S1,S2,…,S100中,正数的个数是( )A.16 B.72 C.86 D.100【解析】选C.因为函数f(x)=sin的最小正周期为T=14,又sin>0,sinπ>0,…,sinπ>0,sinπ=0,sinπ<0,…,sinπ<0,sinπ=0,所以在S1,S2,S3,…,S13,S14中,只有S13=S14=0,其余均大于0.由周期性可知,在S1,S2,…,S100中共有14个0,其余都大于0,即共有86个正数.【加固训练】若f(x)=sin(x+),x∈[0,2π],关于x的方程f(x)=m有两个不相等实数根x1,x2,则x1+x2等于( )A.或B.C.D.不确定【解析】选A.对称轴x=+kπ∈[0,2π],得对称轴x=或x=,所以x1+x2=2×=或x1+x2=2×=,故选A.-7-\n4.(12分)已知函数f(x)=2asin(2x-)+b的定义域为[0,],函数的最大值为1,最小值为-5,求a和b的值.【解题提示】先求出2x-的范围,再分a>0,a<0两类情况讨论,列出a,b的方程组,可求解.【解析】易知a≠0.因为0≤x≤,所以-≤2x-≤π.所以-≤sin(2x-)≤1.若a>0,则解得若a<0,则解得综上可知,a=12-6,b=-23+12或a=-12+6,b=19-12.5.(13分)(能力挑战题)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(0<ω<1,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图象关于点M(π,0)对称.(1)求φ,ω的值.(2)求f(x)的单调递增区间.(3)x∈,求f(x)的最大值与最小值.【解析】(1)因为f(x)=sin(ωx+φ)是R上的偶函数,所以φ=+kπ,k∈Z,且0≤φ≤π,则φ=,即f(x)=cosωx.因为图象关于点M(π,0)对称,所以ω×π=+kπ,k∈Z,且0<ω<1,所以ω=.(2)由(1)得f(x)=cosx,由-π+2kπ≤x≤2kπ且k∈Z得,3kπ-≤x≤3kπ,k∈Z,所以函数的递增区间是[3kπ-,3kπ],k∈Z.(3)因为x∈[-,],所以x∈[-,],-7-\n当x=0时,即x=0,函数f(x)的最大值为1,当x=-时,即x=-,函数f(x)的最小值为0.【加固训练】设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=.(1)求φ.(2)求函数y=f(x)的单调增区间.【解析】(1)令2×+φ=kπ+,k∈Z,所以φ=kπ+,又-π<φ<0,则-<k<-,所以k=-1,则φ=-.(2)由(1)得:f(x)=sin(2x-),令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,可解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,因此y=f(x)的单调增区间为[+kπ,+kπ],k∈Z.-7-
