课时提升作业(十)函数的图象一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2022·安庆模拟)函数f(x)=的图象大致是 ( )【解析】选D.由已知f(x)=,知该函数为奇函数,所以排除A,B,又x>1时,f(x)=>0,排除C.【加固训练】(2022·日照模拟)函数f(x)=lg(|x|-1)的大致图象是 ( )【解析】选B.易知f(x)为偶函数,故只考虑x>0时f(x)=lg(x-1)的图象,将函数y=lgx图象向x轴正方向平移一个单位得到f(x)=lg(x-1)的图象,再根据偶函数性质得到f(x)的图象.2.若lga+lgb=0(其中a≠1,b≠1),则函数f(x)=ax与g(x)=bx的图象( )A.关于直线y=x对称 B.关于x轴对称C.关于y轴对称D.关于原点对称【解析】选C.由lga+lgb=0,得ab=1,且a>0,a≠1,b>0,b≠1.g(x)=bx==a-x,故选C.3.(2022·威海模拟)为了得到函数y=log2的图象,可将函数y=log2x图象上所有点的( )A.纵坐标缩短为原来的,横坐标不变,再向右平移1个单位B.纵坐标缩短为原来的,横坐标不变,再向左平移1个单位C.横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再向左平移1个单位-9-\nD.横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再向右平移1个单位【解析】选A.y=log2=log2(x-1),把函数y=log2x的图象上所有点的纵坐标缩短为原来的,横坐标不变,得到函数y=log2x的图象,再把图象上的点向右平移1个单位,得到函数y=log2(x-1)的图象,即函数y=log2的图象.4.(2022·山东高考)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是( )A.B.（,1）C.(1,2)D.(2,+∞)【解析】选B.先作出函数的图象,由已知函数f（x）=|x-2|+1,g（x）=kx的图象有两个公共点,由图象知当直线介于l1:y=x,l2:y=x之间时,符合题意,故选B.5.(2022·洛阳模拟)若f(x)是偶函数,且当x∈[0,+∞)时,f(x)=x-1,则f(x-1)<0的解集是( )A.(-1,0)B.(-∞,0)∪(1,2)C.(1,2)D.(0,2)【解题提示】先作出f(x)的图象,再通过图象变换作出函数y=f(x-1)的图象,数形结合求解.【解析】选D.根据函数的性质作出函数f(x)的图象如图,把函数f(x)的图象向右平移1个单位,得到函数f(x-1)的图象,如图,则不等式f(x-1)<0的解集为(0,2).-9-\n二、填空题(每小题5分,共15分)6.如图,函数f(x)的图象是曲线OAB,其中点O,A,B的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则f= .【解析】由图象知f(3)=1,所以=1,所以f=f(1)=2.答案:27.已知函数y=的图象与函数y=kx-2的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是 .【解题提示】先作函数y=的图象,然后利用函数y=kx-2的图象过(0,-2)以及与y=图象的两个交点确定k的范围.【解析】根据绝对值的意义,y==在直角坐标系中作出该函数的图象,如图中实线所示.根据图象可知,-9-\n当0<k<1或1<k<4时有两个交点.答案:(0,1)∪(1,4)【加固训练】若方程|ax|=x+a(a>0)有两个解,则a的取值范围是 .【解析】画出y=|ax|与y=x+a的图象,如图.只需a>1.答案:(1,+∞)8.(2022·日照模拟)函数f(x)=的图象如图所示,则a+b+c= .【解析】由图象可求得直线的方程为y=2x+2(x≤0),又函数y=logc的图象过点(0,2),将其坐标代入可得c=,所以a+b+c=2+2+=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)-9-\n9.已知函数f(x)=|x2-4x+3|.(1)求函数f(x)的单调区间,并指出其增减性.(2)若关于x的方程f(x)-a=x至少有三个不相等的实数根,求实数a的取值范围.【解析】f(x)=作出图象如图所示.(1)递增区间为[1,2),[3,+∞),递减区间为(-∞,1),[2,3).(2)原方程变形为|x2-4x+3|=x+a,设y=x+a,在同一坐标系下再作出y=x+a的图象(如图)则当直线y=x+a过点(1,0)时,a=-1;当直线y=x+a与抛物线y=-x2+4x-3相切时,由得x2-3x+a+3=0.由Δ=9-4(3+a)=0,得a=-.由图象知当a∈时,方程至少有三个不等实根.10.设函数f(x)=x+的图象为C1,C1关于点A(2,1)对称的图象为C2,C2对应的函数为g(x).(1)求g(x)的解析式.(2)若直线y=m与C2只有一个交点,求m的值和交点坐标.【解析】(1)设点P(x,y)是C2上的任意一点,则P(x,y)关于点A(2,1)对称的点为P′(4-x,2-y),代入f(x)=x+,可得2-y=4-x+,即y=x-2+,所以g(x)=x-2+.(2)由消去y得x2-(m+6)x+4m+9=0,Δ=[-(m+6)]2-4(4m+9),-9-\n因为直线y=m与C2只有一个交点,所以Δ=0,解得m=0或m=4.当m=0时,经检验合理,交点为(3,0);当m=4时,经检验合理,交点为(5,4).-9-\n(20分钟 40分)1.(5分)函数y=ln|sinx|,x∈∪的图象是 ( )【解析】选B.由已知y=ln|sinx|得y的定义域上的偶函数,其图象应关于y轴对称,故排除A,D,又x∈∪时,0<|sinx|≤1,所以y=ln|sinx|∈(-∞,0],结合B,C知,B正确.2.(5分)(2022·太原模拟)函数y=f(x)的图象如图所示,在区间[a,b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1,x2,…,xn,使得==…=,则n的取值范围是 ( )A.{3,4}B.{2,3,4}C.{3,4,5}D.{2,3}【解题提示】作直线y=kx(k≠0),转化为直线与曲线的交点个数问题,数形结合进行判断.【解析】选B.=表示(x1,f(x1))与原点连线的斜率;==…=表示(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),…,(xn,f(xn))与原点连线的斜率相等,而(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),…,(xn,f(xn))在曲线图象上,故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点个数有几种情况.如图所示,数形结合可得,有2,3,4三种情况,故选B.【加固训练】(2022·抚州模拟)如图,正方形ABCD边长为4cm,E为BC的中点,现用一条垂直于AE的直线l以0.4cm/s的速度从l1平行移动到l2,则在t秒时直线l扫过的正方形ABCD的面积记为F(t)(cm2),则F(t)的函数图象大致是( )-9-\n【解析】选D.当l与正方形AD边有交点时,此时直线l扫过的正方形ABCD的面积随t的增大而增大的速度加快,故此段为凹函数,可排除A,B,当l与正方形CD边有交点时,此时直线l扫过的正方形ABCD的面积随t的增大而增大的速度不变,故此段为一次函数,图象为直线,可排除C,故选D.3.(5分)(2022·郑州模拟)y=x+cosx的大致图象是( )【解析】选B.由于f(x)=x+cosx,所以f(-x)=-x+cosx,所以f(-x)≠f(x),且f(-x)≠-f(x),故此函数是非奇非偶函数,排除A,C;又当x=时,x+cosx=x,即f(x)的图象与直线y=x的交点中有一个点的横坐标为,排除D.故选B.4.(12分)已知函数f(x)=2x,x∈R.(1)当m取何值时方程|f(x)-2|=m有一个解?两个解?(2)若不等式f2(x)+f(x)-m>0在R上恒成立,求m的取值范围.【解析】(1)令F(x)=|f(x)-2|=|2x-2|,G(x)=m,画出F(x)的图象如图所示:由图象看出,当m=0或m≥2时,函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点,原方程有一个解;-9-\n当0<m<2时,函数F(x)与G(x)的图象有两个交点,原方程有两个解.(2)令f(x)=t(t>0),H(t)=t2+t,因为H(t)=在区间(0,+∞)上是增函数,所以H(t)>H(0)=0.因此要使t2+t>m在区间(0,+∞)上恒成立,应有m≤0,即所求m的取值范围为(-∞,0].5.(13分)(能力挑战题)已知函数f(x)的图象与函数h(x)=x++2的图象关于点A(0,1)对称.(1)求f(x)的解析式.(2)若g(x)=f(x)+,且g(x)在区间(0,2]上为减函数,求实数a的取值范围.【解析】(1)设f(x)图象上任一点P(x,y),则点P关于(0,1)点的对称点P′(-x,2-y)在h(x)的图象上,即2-y=-x-+2,所以y=f(x)=x+(x≠0).(2)g(x)=因为g(x)在(0,2]上为减函数,所以1-≤0在(0,2]上恒成立,即a+1≥x2在(0,2]上恒成立,所以a+1≥4,即a≥3,故a的取值范围是[3,+∞).-9-
