生活中的优化问题举例(建议用时：40分钟)一、选择题1．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)( )A．32,16 B．30,15 C．40,20 D．36,18A [要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短，设场地宽为x米，则长为米，因此新墙总长L＝2x＋(x>0)，则L′＝2－.令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．此时长为＝32(米)，可使L最短．]2．将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为( )A．2和6B．4和4C．3和5D．以上都不对B [设一个数为x，则另一个数为8－x，则其立方和y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x2(0≤x≤8)，y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.当0≤x<4时，y′<0；当4<x≤8时，y′>0.所以当x＝4时，y最小．]3．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为( )A．cmB．cmC．cmD．cmD [设圆锥的高为xcm，则底面半径为cm.其体积为V＝πx(202－x2)(0＜x＜20)，V′＝π(400－3x2)．令V′＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)．当0＜x＜时，V′＞0；当＜x＜20时，V′＜0.所以当x＝时，V取最大值．]4．内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的边长为( )A．和RB．R和RC．R和RD．以上都不对7
B [设矩形与半圆直径垂直的一边的长为x，则另一边长为2，则l＝2x＋4(0＜x＜R)，l′＝2－.令l′＝0，解得x1＝R，x2＝－R(舍去)．当0＜x＜R时，l′＞0；当R＜x＜R时，l′＜0.所以当x＝R时，l取最大值，即周长最大的矩形的相邻两边长分别为R，R．]5．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的关系是R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产品是( )A．100B．150C．200D．300D [由题意，得总成本函数为C(x)＝20000＋100x，总利润P(x)＝R(x)－C(x)＝所以P′(x)＝令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300时，总利润P(x)最大．]二、填空题6．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x＞0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产________千台．6 [设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x＞0)，∴y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)．令y′＝0，解得x＝0或x＝6，经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．]7．电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y＝x3－x2－40x(x＞0)，为使耗电量最小，则其速度应定为________．40 [由题设知y′＝x2－39x－40，令y′＞0，解得x＞40或x＜－1，7
故函数y＝x3－x2－40x(x＞0)在[40，＋∞)上递增，在(0,40]上递减．∴当x＝40时，y取得最小值．由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40.]8．用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为________时容器的容积最大．1.2m [设容器底面短边长为xm，则另一边长为(x＋0.5)m，高为[14.8－4x－4(x＋0.5)]＝(3.2－2x)m.由3.2－2x＞0及x＞0，得0＜x＜1.6.设容器容积为y，则有y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x(0＜x＜1.6)，y′＝－6x2＋4.4x＋1.6.由y′＝0及0＜x＜1.6，解得x＝1.在定义域(0,1.6)内，只有x＝1使y′＝0.由题意，若x过小(接近于0)或过大(接近于1.6)，y的值都很小(接近于0)．因此当x＝1时，y取最大值，且ymax＝－2＋2.2＋1.6＝1.8(m3)，这时高为1.2m．]三、解答题9．一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和最少？[解] 设速度为每小时v千米时，燃料费是每小时p元，那么由题设知p＝kv3，因为v＝10，p＝6，所以k＝＝0.006.于是有p＝0.006v3.又设船的速度为每小时v千米时，行驶1千米所需的总费用为q元，那么每小时所需的总费用是(0.006v3＋96)元，而行驶1千米所用时间为小时，所以行驶1千米的总费用为q＝(0.006v3＋96)＝0.006v2＋.q′＝0.012v－＝(v3－8000)，令q′＝0，解得v＝20.当v＜20时，q′＜0；当v＞20时，q′＞0，所以当v＝20时，q取得最小值．即当速度为20千米/小时时，航行1千米所需的费用总和最少．10．某商店经销一种商品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元(a为常数，2≤a≤5)的税收．设每件产品的售价为x元(35≤x≤41)，根据市场调查，日销售量与ex7
(e为自然对数的底数)成反比例．已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件．(1)求该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式；(2)当每件产品的日售价为多少元时，该商品的日利润L(x)最大，并求出L(x)的最大值．[解] (1)设日销售量为，则＝10，∴k＝10e40，则日售量为件．则日利润L(x)＝(x－30－a)＝10e40；答：该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式为L(x)＝10e40.(2)L′(x)＝10e40.①当2≤a≤4时，33≤a＋31≤35，当35＜x＜41时，L′(x)＜0.∴当x＝35时，L(x)取最大值为10(5－a)e5；②当4＜a≤5时，35≤a＋31≤36，令L′(x)＝0，得x＝a＋31，易知当x＝a＋31时，L(x)取最大值为10e9－a.综合上得L(x)max＝.答：当2≤a≤4时，当每件产品的日售价35元时，为L(x)取最大值为10(5－a)e5；当4＜a≤5时，每件产品的日售价为a＋31元时，该商品的日利润L(x)最大，最大值为10e9－a.1．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为( )A．πB．πC．πD．πA [设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r＋2h＝l，∴h＝，V＝πr2h＝πr2－2πr3.则V′＝lπr－6πr2，令V′＝0，得r＝0或r＝，而r＞0，7
∴r＝是其唯一的极值点．∴当r＝时，V取得最大值，最大值为π.]2．用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个大小相同的小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图所示)，当容器的体积最大时，该容器的高为( )A．8cmB．9cmC．10cmD．12cmC [设容器的高为xcm，容器的体积为V(x)cm3，则V(x)＝(90－2x)(48－2x)x＝4x3－276x2＋4320x(0<x<24)，因为V′(x)＝12x2－552x＋4320，由12x2－552x＋4320＝0，得x＝10或x＝36(舍)，因为当0<x<10时，V′(x)>0，当10<x<24时，V′(x)<0，所以当x＝10时，V(x)在区间(0,24)内有唯一极大值，所以容器高x＝10cm时，容器体积V(x)最大．]3．海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30nmile/h，当速度为10nmile/h时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元．如果甲乙两地相距800nmile，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为________．20nmile/h [由题意设燃料费y与航速v间满足y＝av3(0≤v≤30)，又∵25＝a·103，∴a＝.设从甲地到乙地海轮的航速为v，费用为y，则y＝av3×＋×400＝20v2＋.由y′＝40v－＝0，得v＝20<30.当0<v<20时，y′<0；当20<v<30时y′>0，∴当v＝20时，y最小．]7
4．如图所示，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是__________． [设CD＝x，则点C的坐标为，点B的坐标为，∴矩形ABCD的面积S＝f(x)＝x·＝－＋x，x∈(0,2)．由f′(x)＝－x2＋1＝0，得x1＝－(舍)，x2＝，∴x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故当x＝时，f(x)取最大值.]5．如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50km.两厂要在此岸边A，D之间合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，则供水站C建在何处才能使水管费用最省？[解] 设C点距D点xkm，则AC＝50－x(km)，所以BC＝＝(km)．又设总的水管费用为y元，依题意，得y＝3a(50－x)＋5a(0<x<50)．y′＝－3a＋.7
令y′＝0，解得x＝30.在(0,50)上，y只有一个极小值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30km处取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)．故供水站建在A，D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省．7
