课时作业(八)一、选择题1．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像可能是( )答案 A解析 考查导函数的基本概念及导数的几何意义．∵导函数f′(x)是增函数，∴切线的斜率随着切点横坐标的增大，逐渐增大，故选A.2．下面的命题中，正确的是( )A．可导的奇函数的导函数仍是奇函数B．可导的偶函数的导函数仍是偶函数C．可导的周期函数的导函数仍是周期函数D．可导的单调函数的导函数仍是单调函数答案 C解析 排除法．对于A，取y＝x3可验证其错误；对于B，取y＝x2可验证其错误；对于D取y＝x3可验证其错误．3．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )A．y＝sinx B．y＝xexC．y＝x3－xD．y＝lnx－x答案 B4．f(x)＝5x2－2x的单调增区间为( )A．(，＋∞)B．(－∞，)C．(－，＋∞)D．(－∞，－)答案 A5．已知函数y＝f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－2)(x0＋1)25\n，则该函数的单调递减区间为( )A．[－1，＋∞)B．(－∞，2]C．(－∞，－1)和(1,2)D．[2，＋∞)答案 B解析 令k≤0，得x0≤2，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(－∞，2]．6．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)答案 D解析 f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2.7．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)－f(x)≤0，对任意正数a，b，若a<b，则必有( )A．af(b)≤bf(a)B．bf(a)≤af(b)C．af(a)≤f(b)D．bf(b)≤f(a)答案 A解析 构造函数g(x)＝，则g′(x)＝≤0，若g(x)＝不是常数函数，故g(x)＝在(0，＋∞)上递减，因0<a<b，所以g(a)>g(b)，即>，即af(b)<bf(a)．若g(x)＝是常数函数，则g′(x)＝0恒成立．故g(a)＝g(b)，即＝，即af(b)＝bf(a)，综上af(b)≤bf(a)．二、填空题8．函数f(x)＝lg(4x－x2)的增区间是________．答案 (0,2)解析 ∵函数的定义域为4x－x2>0，∴0<x<4.又∵f′(x)＝lge，令f′(x)>0，∴4－2x>0，∴x<2.5\n∴0<x<2，∴增区间为(0,2)．9．函数y＝ax－lnx在(，＋∞)内单调递增，则a的取值范围为________．答案 [2，＋∞)解析 ∵y′＝a－，∴在(，＋∞)上y′≥0，即a－≥0，∴a≥.由x>，得<2.要使a≥恒成立，只需a≥2.10．已知函数f(x)＝在(－2，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是________．答案 a<解析 ∵f′(x)＝且函数f(x)在(－2，＋∞)上单调递减，∴f′(x)≤0在(－2，＋∞)上恒成立．∴a≤.当a＝时，f′(x)＝0恒成立，不合题意，应舍去．∴a<.三、解答题11．设函数f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0<x<2π，求函数f(x)的单调区间．解析 由f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0<x<2π，知f′(x)＝cosx＋sinx＋1.于是f′(x)＝1＋sin(x＋)．令f′(x)＝0，从而sin(x＋)＝－，得x＝π，x＝.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，π)π(π，)(，2π)f′(x)＋0－0＋5\nf(x)单调递增π＋2单调递减单调递增因此，由上表知f(x)的单调递增区间是(0，π)和(，2π)，单调递减区间是(π，)．12．已知函数f(x)＝ax－－2lnx(a≥0)，若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求a的取值范围．解析 f′(x)＝a＋－，要使函数f(x)在定义域(0，＋∞)内为单调函数，只需f′(x)在(0，＋∞)内恒大于0或恒小于0.当a＝0时，f′(x)＝－<0在(0，＋∞)内恒成立；当a>0时，要使f′(x)＝a(－)2＋a－≥0恒成立，∴a－≥0，解得a≥1.综上，a的取值范围为a≥1或a＝0.13．设函数f(x)＝xekx(k≠0)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(－1,1)内单调递增，求k的取值范围．解析 (1)由f′(x)＝(1＋kx)ekx＝0，得x＝－(k≠0)．若k>0，则当x∈(－∞，－)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(－，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．若k<0，则当x∈(－∞，－)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(－，＋∞)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．(2)由(1)知，若k>0，则当且仅当－≤－1，即k≤1时，函数f(x)在(－1,1)内单调递增；若k<0，则当且仅当－≥1，即k≥－1时，函数f(x)在(－1,1)内单调递增．综上可知，函数f(x)在区间(－1,1)内单调递增时，k的取值范围是[－1,0)∪(0,1]．14．已知函数f(x)＝x3－ax－1，(1)是否存在a，使f(x)的单调减区间是(－1,1)；5\n(2)若f(x)在R上是增函数，求a的取值范围．解析 f′(x)＝3x2－a，(1)∵f(x)的单调减区间是(－1,1)，∴－1<x<1是f′(x)<0的解．∴x＝±1是方程3x2－a＝0的两根，所以a＝3.(2)∵f(x)在R上是增函数，∴f′(x)＝3x2－a≥0对x∈R恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立．∵y＝3x2在R上的最小值为0.∴a≤0.5
