变化率问题 导数的概念(建议用时：40分钟)一、选择题1．函数f(x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为( )A．3 B．2C．1D．4B [由已知得：＝3，∴m＋1＝3，∴m＝2.]2．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是( )A．－3B．3C．6D．－6D [由平均速度和瞬时速度的关系可知，v＝s′(1)＝(－3Δt－6)＝－6.]3．若f(x)在x＝x0处存在导数，则( )A．与x0，h都有关B．仅与x0有关，而与h无关C．仅与h有关，而与x0无关D．以上答案都不对B [由导数的定义知，函数在x＝x0处的导数只与x0有关．]4．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )A．f′(x)＝aB．f′(x)＝bC．f′(x0)＝aD．f′(x0)＝bC [∵f′(x0)＝＝＝(a＋bΔx)＝a，∴f′(x0)＝a.]5．若函数y＝f(x)在x＝x0处可导，则等于( )5
A．f′(x0)B．2f′(x0)C．－2f′(x0)D．0B [法一：＝＝＋＝f′(x0)＋＝f′(x0)＋f′(x0)＝2f′(x0)．法二：＝＝2＝2f′(x0)．]二、填空题6．已知函数y＝＋3，当x由2变到1.5时，函数的增量Δy＝________. [Δy＝f(1.5)－f(2)＝－＝－1＝.]7.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示．在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，其三者的大小关系是________．3>2>1 [∵1＝＝kMA，2＝＝kAB，3＝＝kBC，由图象可知：kMA<kAB<kBC，∴3>2>1.]8．一物体位移s和时间t的关系是s＝2t－3t2，则物体的初速度是__________．2 [物体的速度为v＝s′(t)，5
∴s′(t)＝＝＝＝2－6t.即v＝2－6t，所以物体的初速度是v0＝2－6×0＝2.]三、解答题9．若函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a的值．[解] ∵f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)2＋c－a－c＝a(Δx)2＋2aΔx.∴f′(1)＝＝＝(aΔx＋2a)＝2a，即2a＝2，∴a＝1.10．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移：m；时间：s)．(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；(3)求t＝0到t＝2时平均速度．[解] (1)初速度v0＝＝＝(3－Δt)＝3(m/s)．即物体的初速度为3m/s.(2)v＝＝＝＝(－Δt－1)＝－1(m/s)．即此物体在t＝2时的瞬时速度为1m/s，方向与初速度相反．(3)＝＝＝1(m/s)．即t＝0到t＝2时的平均速度为1m/s.1．A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t5
(天)的关系如图所示，则一定有( )A．两机关节能效果一样好B．A机关比B机关节能效果好C．A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率大D．A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大B [由图可知，A，B两机关用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，由平均变化率的几何意义知，A机关用电量在[0，t0]上的平均变化率小于B机关的平均变化率，从而A机关比B机关节能效果好．]2．设函数f(x)可导，则等于( )A．f′(1)B．3f′(1)C．f′(1)D．f′(3)C [＝＝f′(1)．]3．如图所示，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________．[x3，x4] [由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别为：，，，结合图象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]．]4．过曲线y＝f(x)＝x2＋1上两点P(1,2)和Q(1＋Δx，2＋Δy)作曲线的割线，当Δx＝0.1时，割线的斜率k＝________，当Δx＝0.001时，割线的斜率k＝________.2.1 2.001 [∵Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋(Δx)2，5
∴＝2＋Δx，∴割线斜率为2＋Δx，当Δx＝0.1时，割线PQ的斜率k＝2＋0.1＝2.1.当Δx＝0.001时，割线PQ的斜率k＝2＋0.001＝2.001.]5．若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：s)s＝求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度．(2)物体的初速度v0.(3)物体在t＝1时的瞬时速度．[解] (1)因为物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，物体在t∈[3,5]内的位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，所以物体在t∈[3,5]上的平均速度为＝＝24(m/s)．(2)求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度．因为物体在t＝0附近的平均变化率为＝＝＝3Δt－18.所以物体在t＝0处的瞬时变化率为＝(3Δt－18)＝－18.即物体的初速度为－18m/s.(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率．因为物体在t＝1附近的平均变化率为＝＝＝3Δt－12.所以物体在t＝1处的瞬时变化率为＝(3Δt－12)＝－12.即物体在t＝1时的瞬时速度为－12m/s.5
