函数的极值与导数(建议用时：40分钟)一、选择题1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个B [依题意，记函数y＝f′(x)的图象与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1，x2，x3，x4，当a＜x＜x1时，f′(x)＞0；当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0；当x2＜x＜x4时，f′(x)≥0；当x4＜x＜b时，f′(x)＜0.因此，函数f(x)分别在x＝x1，x＝x4处取得极大值，选B.]2．设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则( )A．a＜bB．a＞bC．ab＜a2D．ab＞a2D [法一：函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)＝(x－a)2(ax－ab)，求导得f′(x)＝2(x－a)(ax－ab)＋a(x－a)2＝a(x－a)(3x－a－2b)．令f′(x)＝0，结合a≠0可求得x＝a或x＝.(1)当a>0时，①若＞a，即b＞a，此时易知函数f(x)在(－∞，a)上单调递增，在上单调递减，所以x＝a为函数f(x)的极大值点，满足题意；②若＝a，即b＝a，此时函数f(x)＝a(x－a)3在R上单调递增，无极值点，不满足题意；③若<a，即b<a，此时易知函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以x＝a为函数f(x)的极小值点，不满足题意．(2)当a<0时，①若>a，即b>a，此时易知函数f(x)在(－∞，a)上单调递减，在上单调递增，所以x＝a为函数f(x)的极小值点，不满足题意；6
②若＝a，即b＝a，此时函数f(x)＝a(x－a)3在R上单调递减，无极值点，不满足题意；③若＜a，即b＜a，此时易知函数f(x)在上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减，所以x＝a为函数f(x)的极大值点，满足题意．综上可知：当a>0且b>a时满足题意，当a<0且b<a时也满足题意．据此可知，必有ab>a2成立．故选D.法二：当a＝1，b＝2时，函数f(x)＝(x－1)2(x－2)，作出该函数的图象(图略)，观察可知x＝1为函数的极大值点，满足题意．所以根据a＝1，b＝2可判断选项B，C错误．当a＝－1，b＝－2时，函数f(x)＝－(x＋1)2(x＋2)，作出该函数的图象(图略)，观察可知x＝－1为函数的极大值点，满足题意．所以根据a＝－1，b＝－2可知选项A错误．故选D.]3．已知a是函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝( )A．－4B．－2C．4D．2D [∵f(x)＝x3－12x，∴f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，则x1＝－2，x2＝2.当x∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f′(x)＞0，则f(x)单调递增；当x∈(－2,2)时，f′(x)＜0，则f(x)单调递减，∴f(x)的极小值点为a＝2.]4．当x＝1时，三次函数有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是( )A．y＝x3＋6x2＋9xB．y＝x3－6x2＋9xC．y＝x3－6x2－9xD．y＝x3＋6x2－9xB [∵三次函数过原点，故可设为y＝x3＋bx2＋cx，∴y′＝3x2＋2bx＋c.又x＝1,3是y′＝0的两个根，∴，即∴y＝x3－6x2＋9x，又y′＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)∴当x＝1时，f(x)极大值＝4，当x＝3时，f(x)极小值＝0，满足条件，故选B.]5．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有且只有一个极小值，则( )A．0<b<1B．b<1C．b>0D．b<A [f′(x)＝3x2－3b，要使f(x)在(0,1)内有极小值，则即6
解得0<b<1.]二、填空题6．已知曲线f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1在点(1，f(1))处的切线斜率为3，且x＝是y＝f(x)的极值点，则a＋b＝________.－2 [∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∴即解得a＝2，b＝－4，∴a＋b＝2－4＝－2.]7．设a∈R，若函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则a的取值范围为________．(－∞，－1) [∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a，令y′＝ex＋a＝0，则ex＝－a，即x＝ln(－a)，又∵x＞0，∴－a＞1，即a＜－1.]8．若直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是________．(－2,2) [令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，则极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2.如图，观察得－2＜a＜2时恰有三个不同的公共点．]三、解答题9．求函数f(x)＝x2e－x的极值．[解] 函数的定义域为R，f′(x)＝2xe－x＋x2·＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘0↗4e－2↘由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且为f(0)＝0；当x＝2时，函数有极大值，且为f(2)＝4e－2.10．设函数f(x)＝ln(a－x)，已知x＝0是函数y＝xf(x)的极值点．(1)求a；6
(2)设函数g(x)＝，证明：g(x)＜1.[解] (1)由题意得y＝xf(x)＝xln(a－x)，则y′＝ln(a－x)＋x[ln(a－x)]′.因为x＝0是函数y＝xf(x)的极值点，所以y′|x＝0＝lna＝0，所以a＝1.(2)由(1)可知，f(x)＝ln(1－x)，其定义域为{x|x＜1}，当0＜x＜1时，ln(1－x)＜0，此时xf(x)＜0.当x＜0时，ln(1－x)＞0，此时xf(x)＜0，易知g(x)的定义域为{x|x＜1且x≠0}，故要证g(x)＝＜1，只需证x＋f(x)＞xf(x)，即证x＋ln(1－x)－xln(1－x)＞0，令1－x＝t，则t＞0且t≠1，则只需证1－t＋lnt－(1－t)lnt＞0，即证1－t＋tlnt＞0.令h(t)＝1－t＋tlnt，则h′(t)＝－1＋lnt＋1＝lnt，所以h(t)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以h(t)＞h(1)＝0，即g(x)＜1成立．1．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为( )A．－B．－2C．－2或－D．不存在A [∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b且f(x)在x＝1处取得极大值10，∴f′(1)＝3＋2a＋b＝0，f(1)＝1＋a＋b－a2－7a＝10，∴a2＋8a＋12＝0，∴a＝－2，b＝1或a＝－6，b＝9.当a＝－2，b＝1时，f′(x)＝3x2－4x＋1＝(3x－1)(x－1)．当＜x＜1时，f′(x)＜0，当x＞1时，f′(x)＞0，∴f(x)在x＝1处取得极小值，与题意不符．当a＝－6，b＝9时，f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)；当x＜1时，f′(x)＞0，当1＜x＜3时，f′(x)＜0，∴f(x)在x＝1处取得极大值，符合题意；∴＝－＝－.]6
2．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)·f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)D [由图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．]3．函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________．y＝－ [由题知y′＝ex＋xex，令y′＝0，解得x＝－1，代入函数解析式可得极值点的坐标为，又极值点处的切线为平行于x轴的直线，故方程为y＝－.]4．若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为________．[1,5) [∵f′(x)＝3x2＋2x－a，函数f(x)在区间(－1,1)上恰有一个极值点，即f′(x)＝0在(－1,1)内恰有一个根．又函数f′(x)＝3x2＋2x－a的对称轴为x＝－.∴应满足∴∴1≤a<5.]5．设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.(1)求f(x)的极值；(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？[解] (1)f′(x)＝3x2－2x－1.令f′(x)＝0，则x＝－或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：6
x－1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗所以f(x)的极大值是f＝＋a，极小值是f(1)＝a－1.(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)＞0，x取足够小的负数时，有f(x)＜0，所以曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．由(1)知f(x)极大值＝f＝＋a，f(x)极小值＝f(1)＝a－1.∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，∴f(x)极大值＜0或f(x)极小值＞0，即＋a＜0或a－1＞0，∴a＜－或a＞1，∴当a∈∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．6
