数系的扩充和复数的概念(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列命题：(1)若a＋bi＝0，则a＝b＝0；(2)x＋yi＝2＋2i⇔x＝y＝2；(3)若y∈R，且(y2－1)－(y－1)i＝0，则y＝1.其中正确命题的个数为( )A．0个 B．1个C．2个D．3个B [(1)，(2)所犯的错误是一样的，即a，x不一定是复数的实部，b，y不一定是复数的虚部；(3)正确，因为y∈R，所以y2－1，－(y－1)是实数，所以由复数相等的条件得解得y＝1.]2．若复数z＝(m＋2)＋(m2－9)i(m∈R)是正实数，则实数m的值为( )A．－2B．3C．－3D．±3B [由题知解得m＝3.故选B.]3．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是( )A．3－3iB．3＋iC．－＋iD．＋iA [3i－的虚部为3，3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，故选A.]4．4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为( )A．1B．1或－4C．－4D．0或－4C [由题意知解得a＝－4.]5．设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件B [因为a，b∈R，“a＝0”时“复数a＋bi不一定是纯虚数”．“复数a＋bi是纯虚数”，则“a＝0”一定成立．所以a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋b4
i是纯虚数”的必要而不充分条件．]二、填空题6．设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.－2 [解得m＝－2.]7．已知z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝________，n＝________.2 ±2 [由复数相等的充要条件有即]8．下列命题：①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则x＝±1；③两个虚数不能比较大小．其中正确命题的序号是________．③ [当a＝－1时，(a＋1)i＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小，故③对；若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则即x＝1，故②错．]三、解答题9．若x，y∈R，且(x－1)＋yi＞2x，求x，y的取值范围．[解] ∵(x－1)＋yi＞2x，∴y＝0且x－1＞2x，∴x＜－1，∴x，y的取值范围分别为x＜－1，y＝0.10．实数m为何值时，复数z＝＋(m2＋2m－3)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．[解] (1)要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－1≠0，解得m＝－3.(2)要使z是虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.(3)要使z是纯虚数，m需满足＝0，m－1≠0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.1．下列命题正确的个数是( )4
①1＋i2＝0；②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；④两个虚数不能比较大小．A．1个B．2个C．3个D．4个B [对于①，因为i2＝－1，所以1＋i2＝0，故①正确．对于②，两个虚数不能比较大小，故②错．对于③，当x＝1，y＝i时x2＋y2＝0成立，故③错．④正确．]2．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实根n，且z＝m＋ni，则复数z＝( )A．3＋iB．3－iC．－3－iD．－3＋iB [由题意，知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，即n2＋mn＋2＋(2n＋2)i＝0.所以解得所以z＝3－i.]3．方程(2x2－3x－2)＋(x2－5x＋6)i＝0的实数解x＝________.2 [方程可化为解得x＝2.]4．复数z＝cos＋isin，且θ∈，若z是实数，则θ的值为________；若z为纯虚数，则θ的值为________．± 0 [若z为实数，则sin＝cosθ＝0，又∵θ∈，∴θ＝±.若z为纯虚数，则有∴θ＝0.]5．设z1＝m2＋1＋(m2＋m－2)i，z2＝4m＋2＋(m2－5m＋4)i，若z1<z2，求实数m的取值范围．[解] 由于z1<z2，m∈R，∴z1∈R且z2∈R，当z1∈R时，m2＋m－2＝0，m＝1或m＝－2.当z2∈R时，m2－5m＋4＝0，m＝1或m＝4，∴当m＝1时，z1＝2，z2＝6，满足z1<z2.4
∴z1<z2时，实数m的取值为m＝1.4
