【三维设计】2022届高考数学一轮复习热点难点突破不拉分系列（二）多法并举求函数值域不犯难新人教版 函数的值域由函数的定义域和对应关系完全确定，但因函数千变万化，形式各异，值域的求法也各式各样，因此求函数的值域就存在一定的困难，解题时，若方法适当，能起到事半功倍的作用．求函数值域的常用方法有配方法、换元法、分离常数法、基本不等式法、单调性法(以上例2都已讲解)、判别式法、数形结合法等．1．数形结合法利用函数所表示的几何意义，借助于图象的直观性来求函数的值域，是一种常见的方法，如何将给定函数转化为我们熟悉的模型是解答此类问题的关键．[典例1] 对a，b∈R，记max|a，b|＝函数f(x)＝max||x＋1|，|x－2||(x∈R)的值域是________．[解析] f(x)＝由图象知函数的值域为.[答案] [题后悟道] 利用函数所表示的几何意义求值域(最值)，通常转化为以下两种类型：(1)直线的斜率：可看作点(x，y)与(0,0)连线的斜率；可看作点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．(2)两点间的距离：可看作点(x，y)与点(x1，y1)之间的距离．针对训练1．函数y＝＋的值域为________．3\n解析：函数y＝f(x)的几何意义为：平面内一点P(x,0)到两点A(－3,4)和B(5,2)距离之和．由平面几何知识，找出B关于x轴的对称点B′(5，－2)．连接AB′交x轴于一点P即为所求的点，最小值y＝|AB′|＝＝10.即函数的值域为[10，＋∞)．答案：[10，＋∞)2．判别式法对于形如y＝(a1，a2不同时为零)的函数求值域，通常把其转化成关于x的一元二次方程，由判别式Δ≥0，求得y的取值范围，即为原函数的值域．[典例2] 函数y＝的值域为________．[解析] 法一：(配方法)∵y＝1－，又x2－x＋1＝2＋≥，∴0<≤，∴－≤y<1.∴函数的值域为.法二：(判别式法)由y＝，x∈R，得(y－1)x2＋(1－y)x＋y＝0.∵y＝1时，x∈∅，∴y≠1.又∵x∈R，∴Δ＝(1－y)2－4y(y－1)≥0，∴－≤y<1.∴函数的值域为.[答案] [题后悟道] 本题解法二利用了判别式法，利用判别式法首先把函数转化为一个系数含有y的二次方程a(y)x2＋b(y)x＋c(y)＝0，则在a(y)≠0时，若x∈R，则Δ3\n≥0，从而确定函数的最值；再检验a(y)＝0时对应的x的值是否在函数定义域内，以决定a(y)＝0时y的值的取舍．针对训练2．已知函数y＝的最大值为7，最小值为－1，则m＋n的值为( )A．－1 B．4C．6D．7解析：选C 函数式可变形为(y－m)x2－4x＋(y－n)＝0，x∈R，由已知得y－m≠0，所以Δ＝(－4)2－4(y－m)·(y－n)≥0，即y2－(m＋n)y＋(mn－12)≤0，①由题意，知不等式①的解集为[－1,7]，则－1、7是方程y2－(m＋n)y＋(mn－12)＝0的两根，代入得，解得或所以m＋n＝6.求解函数的值域要根据函数解析式的特点选择恰当的方法，准确记忆常见函数的值域，熟练掌握各种类型函数值域的求法，除前面介绍的几种方法外，还有单调性法、导数法(以后还要讲解)．3
