【三维设计】2022届高考数学一轮复习热点难点突破不拉分系列（三）攻克抽象函数的五类问题新人教版 抽象函数是高中数学的难点，大多数同学感觉找不着头绪，对抽象函数的研究往往要通过函数的性质来体现，如函数的奇偶性、单调性和周期性．利用赋值法将条件进行转化是解决抽象函数问题的重要策略．下面从5个不同的方面来探寻一些做题的规律．1．抽象函数的定义域抽象函数的定义域是根据已知函数的定义域，利用代换法得到不等式(组)进行求解．[典例1] 已知函数y＝f(x)的定义域是[0,8]，则函数g(x)＝的定义域为________．[解析] 要使函数有意义，需使即则1≤x<3，所以函数的定义域为[1,3)．[答案] [1,3)[题后悟道] 函数y＝f(g(x))的定义域的求法，常常通过换元设t＝g(x)，根据函数y＝f(t)的定义域，得到g(x)的范围，从而解出x的范围．在求函数的定义域时要兼顾函数的整体结构，使得分式、对数等都要有意义．2．抽象函数的函数值[典例2] (文)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2，则f(－2)＝( )A．2 B．3C．6D．9[解析] 令x＝y＝0，得f(0)＝0，令x＝y＝1，得f(2)＝2f(1)＋2＝6，由0＝f3\n(2－2)＝f(2)＋f(－2)－8得f(－2)＝2.[答案] A[典例2] (理)已知定义在R上的单调函数f(x)满足：存在实数x0，使得对于任意实数x1，x2，总有f(x0x1＋x0x2)＝f(x0)＋f(x1)＋f(x2)恒成立．求：(1)f(1)＋f(0)；(2)x0的值．[解] (1)因为对于任意实数x1，x2，总有f(x0x1＋x0x2)＝f(x0)＋f(x1)＋f(x2)恒成立，令x1＝1，x2＝0，得f(x0)＝f(x0)＋f(0)＋f(1)，所以f(0)＋f(1)＝0.(2)令x1＝0，x2＝0，得f(0)＝f(x0)＋2f(0)，即f(x0)＝－f(0)．故f(x0)＝f(1)．又因为f(x)是单调函数，所以x0＝1.[题后悟道] 抽象函数求函数值往往要用赋值法，需要结合已知条件，通过观察和多次尝试寻找有用的取值，挖掘出函数的性质，特别是借助函数的奇偶性和函数的周期性来转化解答．3．抽象函数的奇偶性函数的奇偶性就是要判断－x对应的函数值与x对应的函数值之间的关系，从而得到函数图象关于原点或y轴对称，结合函数的图形作出进一步的判断．[典例3] 已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)·f(y)，且f(0)≠0，求证：f(x)是偶函数．[证明] 取x＝0，y＝0，得2f(0)＝2f2(0)，因为f(0)≠0，所以f(0)＝1；再取x＝0，得f(y)＋f(－y)＝2f(0)·f(y)＝2f(y)．所以f(y)＝f(－y)，所以函数f(x)是偶函数．[题后悟道] 在利用奇偶函数的定义进行判断时，等式中如果还有其他的量未解决，例如本题中的f(0)，还需要令x，y取特殊值进行求解．4．抽象函数的单调性与抽象不等式高考对于抽象函数的单调性的考查一直是个难点，常出现一些综合性问题，利用导数进行判断求解，并对所含的参数进行分类讨论或者根据已知条件确定出参数的范围，再根据单调性求解或证明抽象不等式问题．(结合本节例2(2)学习)．5．抽象函数的周期性有许多抽象函数都具有周期性，特别是在求自变量值较大的函数值时，就要考虑寻找函数的周期，从而利用周期把函数值转化为已知求出．[典例4] 已知函数f(x)满足：f(1)＝，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，则f(2014)＝________.[解析] 取x＝n，y＝1，有f(n)＝f(n＋1)＋f(n－1)，同理f(n＋1)＝f(n＋2)＋f(n)，3\n联立，得f(n＋2)＝－f(n－1)，所以f(n＋3)＝－f(n)，f(n＋6)＝－f(n＋3)＝f(n)，所以函数的周期为T＝6，故f(2014)＝f(4)＝－f(1)＝－.[答案] －[题后悟道] 判断抽象函数的周期性时，给一个变量赋值是关键，但由于函数的周期性是函数的整体性质，因此另一个变量必须具有任意性．从以上几种类型来看，解答抽象函数问题并不是无计可施，只要我们善于观察、分析、掌握解题规律，把抽象问题形象化、具体化，问题就可以化难为易、迎刃而解．3
