复数代数形式的加、减运算及其几何意义(建议用时：40分钟)一、选择题1．若(－3a＋bi)－(2b＋ai)＝3－5i，a，b∈R，则a＋b＝( )A． B．－C．－D．5B [(－3a＋bi)－(2b＋ai)＝(－3a－2b)＋(b－a)i＝3－5i，所以解得a＝，b＝－，故有a＋b＝－.]2．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是( )A．－2B．4C．3D．－4B [z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，故选B.]3．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为( )A．3B．2C．1D．－1D [z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.∵z1＋z2所对应的点在实轴上，∴1＋a＝0，∴a＝－1.]4．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，对应的复数分别是3＋i、－1＋3i，则对应的复数是( )A．2＋4iB．－2＋4iC．－4＋2iD．4－2iD [依题意有＝＝－，而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，即对应的复数为4－2i.故选D.]5
5．若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值是( )A．2B．3C．4D．5B [设z＝x＋yi，则由|z＋2－2i|＝1得(x＋2)2＋(y－2)2＝1，表示以(－2,2)为圆心，以1为半径的圆，如图所示，则|z－2－2i|＝表示圆上的点与定点(2,2)的距离，数形结合得|z－2－2i|的最小值为3.]二、填空题6．已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝________.3 [由条件知z1＋z2＝a2－2a－3＋(a2－1)i，又z1＋z2是纯虚数，所以解得a＝3.]7．若z1＝2－i，z2＝－＋2i，则z1，z2在复平面上所对应的点为Z1，Z2，这两点之间的距离为________． [||＝＝.]8．若复数z满足|z－i|＝3，则复数z对应的点Z的轨迹所围成的图形的面积为________．9π [由条件知|z－i|＝3，所以点Z的轨迹是以点(0,1)为圆心，以3为半径的圆，故其面积为S＝9π.]三、解答题9．在复平面内，A，B，C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，求D点对应的复数z4及AD的长．[解] 如图所示.对应复数z3－z1，对应复数z2－z1，对应复数z4－z1.由复数加减运算的几何意义，得＝＋，∴z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)，5
∴z4＝z2＋z3－z1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i.∴AD的长为||＝|z4－z1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝2.10．设m∈R，复数z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虚数，求m的取值范围．[解] ∵z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，∴z1＋z2＝＋[(m－15)＋m(m－3)]i＝＋(m2－2m－15)i.∵z1＋z2为虚数，∴m2－2m－15≠0且m≠－2，解得m≠5，m≠－3且m≠－2(m∈R)．所以m的取值范围为(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2,5)∪(5，＋∞)．1．复平面上三点A，B，C分别对应复数1,2i,5＋2i，则由A，B，C所构成的三角形是( )A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形A [|AB|＝|2i－1|＝，|AC|＝|4＋2i|＝，|BC|＝5，∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2.故选A.]2．设z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为( )A．0 B．1 C. D.C [由|z＋1|＝|z－i|知，在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y＝－x，而|z＋i|表示直线y＝－x上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y＝－x的距离，即为.]3．若复数z满足z＝|z|－3－4i，则z＝________.－4i [设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则所以所以z＝－4i.]4.已知z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ且z1－z2＝＋i，则cos(α＋5
β)的值为________． [∵z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ，∴z1－z2＝(cosα－cosβ)＋i(sinα＋sinβ)＝＋i，∴①2＋②2得2－2cos(α＋β)＝1，即cos(α＋β)＝.]5．已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于P点．(1)求对应的复数；(2)求对应的复数；(3)求△APB的面积．[解] (1)由于四边形ABCD是平行四边形，所以＝＋，于是＝－，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i，即对应的复数是－2＋2i.(2)由于＝－，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，即对应的复数是5.(3)由于＝＝－＝，＝＝，于是·＝－，而||＝，||＝，所以··cos∠APB＝－，因此cos∠APB＝－，故sin∠APB＝，5
故S△APB＝||||sin∠APB＝×××＝.即△APB的面积为.5
