复数的加、减运算及其几何意义[A级 基础巩固]1．复数z1＝2－i，z2＝－2i，则z1＋z2等于( )A.0 B.＋iC.－iD.－i解析：选C z1＋z2＝－i＝－i.2．已知复数z满足z＋2i－5＝7－i，则|z|＝( )A．12B．3C．3D．9解析：选C 由题意知z＝7－i－(2i－5)＝12－3i，∴|z|＝＝3.故选C.3．已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是( )解析：选A 由图可知，z＝－2＋i，所以z＋1＝－1＋i，则复数z＋1所对应的向量的坐标为(－1，1)．故选A.4．(多选)若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则( )A．z的实部是－2B．z的虚部是4C．|z|＝2D.＝－2－4i解析：选ABD z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，则z的实部是－2，虚部是4，|z|＝2，＝－2－4i.故选A、B、D.5．已知i为虚数单位，在复平面内，复数z1对应的点的坐标为(2，－3)，复数z2＝－1＋2i，若复数z＝z1＋z2，则复数z在复平面内对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选D 因为复数z1对应的点的坐标为(2，－3)，所以z1＝2－3i.又因为复数z＝5
z1＋z2，z2＝－1＋2i，所以z＝2－3i＋(－1＋2i)＝1－i.所以复数z对应的点的坐标为(1，－1)，位于第四象限．故选D.6．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________．解析：|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝＝5.答案：57．在复平面内，复数1＋i与1＋3i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则||＝________．解析：由题意＝－，∴对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i，∴||＝2.答案：28．设f(z)＝z－3i＋|z|，若z1＝－2＋4i，z2＝5－i，则f(z1＋z2)＝________．解析：z1＋z2＝3＋3i，f(z1＋z2)＝f(3＋3i)＝3＋|3＋3i|＝3＋3.答案：3＋39．已知i为虚数单位，计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．解：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i.(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i.10．设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，求|z1－z2|.解：法一：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，由题设知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2.又(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2，∴2ac＋2bd＝0.∴|z1－z2|2＝|(a－c)＋(b－d)i|2＝(a－c)2＋(b－d)2＝a2＋c2＋b2＋d2－(2ac＋2bd)＝2，∴|z1－z2|＝.法二：∵|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)，即()2＋|z1－z2|2＝2×(12＋12)，∴|z1－z2|2＝2，∴|z1－z2|＝.[B级 综合运用]5
11．(多选)给出下列命题，其中是真命题的是( )A．纯虚数z的共轭复数是－zB．若z1－z2＝0，则z1＝2C．若z1＋z2∈R，则z1与z2互为共轭复数D．若z1－z2＝0，则z1与2互为共轭复数解析：选AD A．根据共轭复数的定义，显然是真命题；B.若z1－z2＝0，则z1＝z2，当z1，z2均为实数时，则有z1＝2，当z1，z2是虚数时，z1≠2，所以B是假命题；C.若z1＋z2∈R，则z1，z2可能均为实数，但不一定相等，或z1与z2的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所以C是假命题；D.若z1－z2＝0，则z1＝z2，所以z1与2互为共轭复数，故D是真命题．12．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．若z＝z1－z2，且z＝13－2i，则z1＝________，z2＝________．解析：z＝z1－z2＝[(3x＋y)＋(y－4x)i]－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，又z＝13－2i，所以解得所以z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，z2＝(－4－2×2)－(5×2－3×1)i＝－8－7i.答案：5－9i －8－7i13．若|z－2|＝|z＋2|，则|z－1|的最小值是________．解析：由|z－2|＝|z＋2|，知z对应点的轨迹是到(2，0)与到(－2，0)距离相等的点，即虚轴．|z－1|表示z对应的点与(1，0)的距离．∴|z－1|min＝1.答案：114．在复平面内，A，B，C三点分别对应复数1，2＋i，－1＋2i.(1)求，，对应的复数；(2)判断△ABC的形状．解：(1)∵A，B，C三点对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i，∴，，对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i(O为坐标原点)，∴＝(1，0)，＝(2，1)，＝(－1，2)．∴＝－＝(1，1)，＝－＝(－2，2)，5
＝－＝(－3，1)．即对应的复数为1＋i，对应的复数为－2＋2i，对应的复数为－3＋i.(2)∵||＝＝，||＝＝2，||＝＝，∴||2＋||2＝10＝||2.又∵||≠||，∴△ABC是以角A为直角的直角三角形．[C级 拓展探究]15．已知复平面内的平行四边形ABCD中，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求：(1)点C，D对应的复数；(2)平行四边形ABCD的面积．解：(1)∵向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，∴向量对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又∵＝＋，∴点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.∵＝，∴向量对应的复数为3－i，即＝(3，－1)．设D(x，y)，则＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，∴解得∴点D对应的复数为5.(2)∵·＝||||cosB，5
∴cosB＝＝＝.∵0<B<π，∴sinB＝，∴S四边形ABCD＝||||sinB＝××＝7.∴平行四边形ABCD的面积为7.5
