【三维设计】2022届高考数学一轮复习数学思想活用巧得分系列九方程思想在求解离心率中的应用新人教版 [典例] 已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )A．(1，＋∞) B．(1,2)C．(1,1＋)D．(2,1＋)[解析] 由AB⊥x轴，可知△ABE为等腰三角形，又△ABE是锐角三角形，所以∠AEB为锐角，即∠AEF<45°，于是|AF|<|EF|，<a＋c，于是c2－a2<a2＋ac，即e2－e－2<0，解得－1<e<2.又双曲线的离心率e>1，从而1<e<2.[答案] B[题后悟道] 离心率是圆锥曲线的重要几何性质，求解椭圆或者双曲线的离心率的关键是建立一个关于a，b，c的方程(不等式)，通过这个方程(不等式)和b与a，c的关系消掉b后，建立a，c之间的方程(不等式)，只要能通过这个方程求出即可，不一定具体求出a，c的数值．针对训练1．(2022·郑州模拟)已知点F，A分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，右顶点，点B(0，b)满足,·,＝0，则双曲线的离心率为( )A. B.C.D.解析：选D 依题意得F(－c,0)，A(a,0)，又B(0，b)，则,＝(c，b)，,＝(－2\na，b)．由,·,＝0，得b2＝ac，所以c2－a2＝ac，＝1，即e－＝1，e2－e－1＝0，解得e＝.又e＞1，所以e＝，即双曲线的离心率等于.2．(2022·南昌模拟)已知椭圆＋＝1(a＞b＞c＞0，a2＝b2＋c2)的左，右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b－c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值为(a－c)，则椭圆的离心率e的取值范围是________．解析：因为|PT|＝(b＞c)，而|PF2|的最小值为a－c，所以|PT|的最小值为.依题意有，≥(a－c)，所以(a－c)2≥4(b－c)2，所以a－c≥2(b－c)，所以a＋c≥2b，所以(a＋c)2≥4(a2－c2)，所以5c2＋2ac－3a2≥0，所以5e2＋2e－3≥0 ①.又b＞0，所以b2＞c2，所以a2－c2＞c2，所以2e2＜1 ②，联立①②，得≤e＜.答案：2
