【三维设计】2022届高考数学一轮复习数学思想活用巧得分系列七分类讨论思想在等比数列中的应用新人教版 [典例] 设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn>0(n＝1,2,3，…)．则q的取值范围为________．[解析] 因为{an}为等比数列，Sn>0，可以得到a1＝S1>0，q≠0，当q＝1时，Sn＝na1>0；当q≠1时，Sn＝>0，即>0(n＝1,2,3，…)，上式等价于不等式组(n＝1,2,3，…)，①或(n＝1,2,3，…)．②解①式得q>1，解②式，由于n可为奇数，可为偶数，得－1<q<1.综上，q的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．[答案] (－1,0)∪(0，＋∞)[题后悟道] 解答本题利用了分类讨论思想，由于等比数列求和公式中分两种情况q＝1和q≠1，而本题未说明q的范围，求解时应分类讨论，而不能直接利用公式Sn＝.针对训练等比数列{an}中，a3＝，S3＝，求an及前n项和Sn.解：当q＝1时，a1＝a2＝a3＝，2\nS3＝3×＝，符合题意，此时an＝，Sn＝n.当q≠1时，由已知得即由①②两式相除得2q2－q－1＝0，解得q＝－，q＝1(舍去)．则a1＝6，故an＝a1qn－1＝6×n－1，此时Sn＝＝＝4＝4－4×n.2
