数列(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a5·a11＝16，则a7等于( )A．1 B．2 C．4 D．8B [由性质得a5a11＝a＝16，由题意知a8＝4，a7＝＝＝2．]2．设数列{an}是等比数列，公比q＝2，则的值是( )A．1B．2C．D．D [∵q＝2，∴2a1＝a2，2a3＝a4，∴＝＝＝．故选D．]3．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，满足a3＝3a1，a2＝3a1－1，则数列的前10项和为( )A．B．55C．D．65C [设等差数列{an}的公差为d，则，所以a1＝1，d＝1，所以Sn＝n＋＝，所以＝，所以－＝－＝，所以是以1为首项，为公差的等差数列，数列的前10项和T10＝10＋×＝，故选C．]4．意大利数学家斐波那契(1770～1250)，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、…，在实际生活中，很多花朵(如梅花，飞燕草，万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛得应用．已知斐波那契数列{an}满足：a1＝1，a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，若a2＋a3＋a5＋a7＋a9＋…＋a59＝ak，则k＝( )A．2020B．2021C．59D．60D [由于an＋2＝an＋1＋an，则a2＋a3＋a5＋a7＋a9＋…＋a59＝a4＋a5＋a7＋a9＋…＋a59＝a6＋a7＋a9＋…＋a59＝…＝a58＋a59＝a60，因此，k＝60．故选D．]9
5．已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，又数列是等差数列，则a11等于( )A．0B．C．D．－1B [设数列{bn}的通项公式bn＝，因为{bn}是等差数列，b3＝＝，b7＝＝．公差d＝＝．∴b11＝b3＋(11－3)×d＝＋8×＝，即＝，故a11＝．]6．已知数列{an}满足a1＝5，anan＋1＝2n，则＝( )A．2B．4C．5D．B [依题意得＝＝2，即＝2，数列a1，a3，a5，a7，…是一个以5为首项，2为公比的等比数列，因此＝4．]7．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为，得其关捩，解之为二，又合而为一…”．在某种玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N*)个圆环所需的最少移动次数，若a1＝1，且an＝，则解下5个环所需的最少移动次数为( )A．22B．16C．13D．7B [∵a1＝1，∴a2＝2a1－1＝1，a3＝2a2＋2＝4，a4＝2a3－1＝7，a5＝2a4＋2＝16，所以解下5个环所需的最少移动次数为16，故选B．]8．数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，则{bn}的前10项和为( )A．B．C．D．B [依题意bn＝＝＝＝－，所以{bn}的前10项和为S10＝＋＋＋…＋＝－＝，故选B．]9
二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．在等差数列{an}中，已知a3＝10，a11＝－6，Sn是其前n项和，则( )A．a7＝2B．S10＝54C．d＝－2D．>ACD [由已知条件得，解得．对于A选项，a7＝a1＋6d＝14－6×2＝2，A选项正确；对于B选项，S10＝10a1＋d＝140－90＝50，B选项错误；对于C选项，d＝－2，C选项正确；对于D选项，＝＝a1＋3d＝14－3×2＝8，＝＝a1＋d＝14－×2＝7，所以>，D选项正确．故选ACD．]10．已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N＋)，且a2＋a4＋a6＝9，则( )A．an＋1＝3anB．3an＋1＝anC．a5＋a7＋a9＝35D．a5＋a7＋a9＝AC [由题知log3an＋1＝log3(3an)＝log3an＋1，所以an＋1＝3an>0，所以＝3，所以{an}是公比为3的等比数列．所以a5＋a7＋a9＝(a2＋a4＋a6)q3＝9×33＝35．故选AC．]11．在公比q为整数的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则下列说法正确的是( )A．q＝2B．数列{lgan}是公差为2的等差数列C．S8＝254D．数列{Sn＋2}是等比数列AD [由等比数列通项公式得，解得或，又公比q为整数，故，an＝a1·qn－1＝2n，故A选项正确；lgan＝lg2n＝nlg2，故数列{lgan}是公差为lg2的等差数列，故B选项错误；Sn＝＝2n＋1－2，故S8＝29－2＝510，故C选项错误；Sn＋2＝2n＋1，故{Sn＋2}为等比数列，即D选项正确；故选AD．]9
12．等差数列{an}是递增数列，满足a7＝3a5，前n项和为Sn，下列选项正确的是( )A．d>0B．a1<0C．当n＝5时Sn最小D．Sn>0时n的最小值为8ABD [由题意，设等差数列{an}的公差为d，因为a7＝3a5，可得a1＋6d＝3(a1＋4d)，解得a1＝－3d，又由等差数列{an}是递增数列，可知d>0，则a1<0，故A、B正确；因为Sn＝n2＋n＝n2－n，由n＝－＝可知，当n＝3或4时Sn最小，故C错误，令Sn＝n2－n>0，解得n<0或n>7，即Sn>0时n的最小值为8，故D正确．故选ABD．]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a5＝a3＋4，则S13＝__________．52 [2a5＝a5＋a5＝a3＋4⇒a5＋(a5－a3)＝4，即a5＋2d＝4，得a7＝4，S13＝＝13a7＝52．故答案为：52．]14．已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S5＝________．31 [由题知且{an}是递增数列，得所以q2＝＝4，q＝2，所以S5＝＝＝31．]15．等比数列{an}的通项为an＝2·3n－1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列{bn}，那么162是新数列{bn}的第________项．13 [162是这个数列{an}的第5项，则它是新数列{bn}的第5＋(5－1)×2＝13项．]16．复印纸幅面规格只采用A系列和B系列，其中A系列的幅面规格为：①A0，A1，A2，…，A8所有规格的纸张的幅宽(以x表示)和长度(以y表示)的比例关系都为x∶y＝1∶；②将A0纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A1规格；A1纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A2规格；…；如此对开至A8规格．现有A0，A1，A2，…，A8纸各一张．若A4纸的幅宽为2dm，则A0纸的面积为__________dm2，这9张纸的面积之和等于__________dm2．(本题第一空2分，第二空3分)64 [根据题意，A4的长、宽分别为2，2，A39
的长、宽分别为4，2，A2的长、宽分别为4，4，A1的长、宽分别为8，4，A0的长、宽分别为8，8，所以A0的面积为64，A0，A1，A2，…，A8纸张的面积是以64为首项，公比为的等比数列，所以这9张纸的面积之和等于＝．故答案为：64；．]四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设数列{an}(n＝1，2，3，…)的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列的前n项和为Tn，求Tn．[解] (1)由已知Sn＝2an－a1，得an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1．因为a1，a2＋1，a3成等差数列，即a1＋a3＝2(a2＋1)，所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2．所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．故an＝2n．(2)由(1)得＝，所以Tn＝＋＋…＋＝＝1－．18．(本小题满分12分)数列{an}对任意n∈N＋，满足an＋1＝an＋1，a3＝2．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝an＋n，求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn．[解] (1)由已知得an＋1－an＝1，数列{an}是等差数列，且公差d＝1．又a3＝2，所以a1＝0，所以an＝n－1．(2)由(1)得，bn＝＋n，所以Sn＝(1＋1)＋＋…＋＋n＝1＋＋＋…＋9
＋(1＋2＋3＋…＋n)＝＋＝＋．19．(本小题满分12分)在①a1＝1，a1a5＝a；②S3＝9，S5＝25；③Sn＝n2．这三个条件中任选一个补充在下面的问题中．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且公差d≠0，若__________．(1)求数列{an}的通项公式；(2)记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．[解] (1)若选①：由a1＝1，a1a5＝a，得a1(a1＋4d)＝(a1＋d)2即1＋4d＝(1＋d)2，∴d2＝2d，∵d≠0，∴d＝2，所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1．若选②：设等差数列{an}的首项为a1，由S3＝9，S5＝25，得：解得，所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1．若选③：当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，显然n＝1时也满足an＝2n－1，∴an＝2n－1．(2)由(1)知an＝2n－1，∴bn＝＝＝，则Tn＝＝＝．20．(本小题满分12分)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足＋＋…＋＝1－，n∈N＋，求{bn}的前n项和Tn．[解] (1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d．由S4＝4S2，a2n＝2an＋1，得解得因此an＝2n－1，n∈N＋．(2)由已知＋＋…＋＝1－，n∈N＋，9
当n＝1时，＝；当n≥2时，＝1－－＝．所以＝，n∈N＋．由(1)知an＝2n－1，n∈N＋，所以bn＝，n∈N＋．所以Tn＝＋＋＋…＋，Tn＝＋＋…＋＋．两式相减，得Tn＝＋－＝－－，所以Tn＝3－．21．(本小题满分12分)为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，长沙市计划用若干年更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车．今年年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a辆．(1)求经过n年，该市被更换的公交车总数S(n)；(2)若该市计划用7年的时间完成全部更换，求a的最小值．[解] (1)设an，bn分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，依题意知，数列{an}是首项为128，公比为1＋50%＝的等比数列，数列{bn}是首项为400，公差为a的等差数列．所以数列{an}的前n项和Sn＝＝256，数列{bn}的前n项和Tn＝400n＋a，所以经过n年，该市更换的公交车总数S(n)＝Sn＋Tn＝256＋400n＋a．9
(2)若用7年的时间完成全部更换，则S(7)≥10000，即256＋400×7＋a≥10000，即21a≥3082，所以a≥．又a∈N＋，所以a的最小值为147．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f，n∈N＋．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝(n≥2)，b1＝3，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，若Sn<对一切n∈N＋都成立，求最小的正整数m的值．[解] (1)∵an＋1＝f＝＝an＋，∴{an}是以a1＝1为首项，为公差的等差数列，∴an＝n＋．(2)当n≥2时，bn＝＝＝，当n＝1时，上式同样成立，∴bn＝．∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝，∵Sn<对一切n∈N＋都成立，即<对一切n∈N＋都成立．又随着n的增大而增大，9
且<，∴≤，∴m≥2021．∴最小的正整数m的值为2021．9
