第八章第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程一、选择题1．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为( )A．0B．－8C．2D．102．直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )A．[0，π)B．[0，]∪[，π)C．[0，]D．[0，]∪(，π)3．直线2x－y－2＝0绕它与y轴的交点逆时针旋转所得的直线方程是( )A．x－2y＋4＝0B．x＋2y－4＝0C．x－2y－4＝0D．x＋2y＋4＝04．设点A(－2,3)，B(3,2)，若直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，则a的取值范围是( )A．(－∞，－]∪[，＋∞)B．(－，)C．[－，]D．(－∞，－]∪[，＋∞)5．已知直线a2x＋y＋2＝0与直线bx－(a2＋1)y－1＝0互相垂直，则|ab|的最小值为( )A．5B．4C．2D．16．直线Ax＋By－1＝0在y轴上的截距是－1，而且它的倾斜角是直线x－y＝3的倾斜角的2倍，则( )A．A＝，B＝1B．A＝－，B＝－1C．A＝，B＝－1D．A＝－，B＝1二、填空题5\n7．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________.8．已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________．9．与直线3x＋4y＋12＝0平行，且与坐标轴构成的三角形的面积是24的直线l的方程是____________________．三、解答题10．在△ABC中，已知A(5，－2)、B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：(1)顶点C的坐标；(2)直线MN的方程．11．已知两点A(－1,2)，B(m,3)．(1)求直线AB的方程；(2)已知实数m∈[－－1，－1]，求直线AB的倾斜角α的取值范围．12.为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图所示)，另外，△AEF内部有一文物保护区不能占用，经测量AB＝100m，BC＝80m，AE＝30m，AF＝20m，应如何设计才能使草坪面积最大？5\n详解答案一、选择题1．解析：由k＝＝－2，得m＝－8.答案：B2．解析：设题中直线的倾斜角为θ，则有tanθ＝－sinα，其中sinα∈[－1,1]．又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤或≤θ<π答案：B3．解析：直线2x－y－2＝0与y轴的交点为A(0，－2)，所求直线过A且斜率为－，∴所求直线方程：y＋2＝－(x－0)，即x＋2y＋4＝0.答案：D4．解析：直线ax＋y＋2＝0恒过点M(0，－2)，且斜率为－a，∵kMA＝＝－，kMB＝＝，由图可知：－a>－且－a<，∴a∈(－，)．答案：B5．解析：由题意知，a2b－(a2＋1)＝0且a≠0，∴a2b＝a2＋1，∴ab＝＝a＋，∴|ab|＝|a＋|＝|a|＋≥2.(当且仅当a＝±1时取“＝”)．答案：C6．解析：将直线Ax＋By－1＝0化成斜截式y＝－x＋.∵＝－1，∴B＝－1，故排除A、D.5\n又直线x－y＝3的倾斜角α＝，∴直线Ax＋By－1＝0的倾斜角为2α＝，∴斜率－＝tan＝－，∴A＝－.答案：B二、填空题7．解析：由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是，解得.故m＋n＝.答案：8．解析：直线AB的方程为＋＝1，P(x，y)，则x＝3－y，∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)＝[－(y－2)2＋4]≤3.答案：39．解析：先由“平行”这个条件设出直线方程为3x＋4y＋m＝0，再用“面积”条件求m.因为直线l交x轴于A(－，0)，交y轴于B(0，－)，由·|－|·|－|＝24，可得m＝±24.所以，所求直线的方程为：3x＋4y±24＝0.答案：3x＋4y＋24＝0或3x＋4y－24＝0三、解答题10．解：(1)设点C的坐标为(x，y)，则有＝0，＝0，∴x＝－5，y＝－3.即点C的坐标为(－5，－3)．(2)由题意知，M(0，－)，N(1,0)，∴直线MN的方程为x－＝1，即5x－2y－5＝0.11．解：(1)当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1，当m≠－1时，直线AB的方程为y－2＝(x＋1)．5\n(2)①当m＝－1时，α＝；②当m≠－1时，m＋1∈[－，0)∪(0，]，∴k＝∈(－∞，－]∪[，＋∞)，∴α∈[，)∪(，]．综合①②知，直线AB的倾斜角α的取值范围为[，π]．12.解：建立如图所示直角坐标系，则E(30,0)，F(0,20)，于是，线段EF的方程是＋＝1(0≤x≤30)，在线段EF上取点P(m，n)，作PQ⊥BC于点Q，PR⊥CD于点R，设矩形PQCR的面积为S，则：S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n)，因为＋＝1，所以n＝20(1－)，所以S＝(100－m)(80－20＋m)＝－(m－5)2＋(0≤m≤30)，于是，当m＝5时，S有最大值，这时＝.答：当草坪矩形的两边在BC，CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分EF成5∶1时，草坪面积最大．5
