第八章第二节直线的交点坐标、距离公式与对称问题一、选择题1．已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值等于( )A．0或－ B.或－6C．－或D．0或2．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是( )A．x＋2y－1＝0B．2x＋y－1＝0C．2x＋y－3＝0D．x＋2y－3＝03．P点在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为，则P点坐标为( )A．(1,2)B．(2,1)C．(1,2)或(2，－1)D．(2,1)或(－1,2)4．直线l1：3x＋4y－7＝0与直线l2：6x＋8y＋1＝0间的距离为( )A.B.C．4D．85．使三条直线4x＋y＝4，mx＋y＝0,2x－3my＝4不能围成三角形的m值最多有( )A．1个B．2个C．3个D．4个6．当直线y＝kx与曲线y＝|x|－|x－2|有3个公共点时，实数k的取值范围是( )A．(0,1)B．(0,1]C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)二、填空题7．过两直线x＋3y－10＝0和y＝3x的交点，并且与原点距离为1的直线方程为________________．8．已知实数x、y满足2x＋y＋5＝0，那么的最小值为9．函数y＝a2x－2(a>0，a≠1)的图象恒过点A，若直线l：mx＋ny－1＝0经过点A，则坐标原点O到直线l的距离的最大值为________．三、解答题10．已知直线l经过点P(3,1)，且被两平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y6\n＋6＝0截得的线段之长为5，求直线l的方程．11．已知两直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0.求分别满足下列条件的a，b的值．(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与l2垂直；(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．12．两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，如果两条平行直线间的距离为d，求：(1)d的变化范围；(2)当d取最大值时，两条直线的方程．详解答案一、选择题1．解析：依题意得＝，∴|3m＋5|＝|m－7|，∴3m＋5＝m－7或3m＋5＝7－m.6\n∴m＝－6或m＝.答案：B2．解析：由得交点A(1,1)，且可知所求直线斜率为－.∴方程为x＋2y－3＝0.答案：D3．解析：设P(x,5－3x)，则d＝＝，|4x－6|＝2,4x－6＝±2，∴x＝1或x＝2，∴P(1,2)或(2，－1)．答案：C4．解析：因为直线l2的方程可化为3x＋4y＋＝0.所以直线l1与直线l2的距离为＝.答案：B5．解析：要使三条直线不能围成三角形，只需其中两条直线平行或者三条直线共点即可．若4x＋y＝4与mx＋y＝0平行，则m＝4；若4x＋y＝4与2x－3my＝4平行，则m＝－；若mx＋y＝0与2x－3my＝4平行，则m值不存在；若4x＋y＝4与mx＋y＝0及2x－3my＝4共点，则m＝－1或m＝.综上可知，m值最多有4个．答案：D6．解析：依题意得，当x<0时，y＝－x＋(x－2)＝－2；当0≤x≤2时，y＝x＋(x－2)＝2x－2；当x>2时，y＝x－(x－2)＝2.在直角坐标系中画出该函数的图象(如图)，将x轴绕着原点沿逆时针方向旋转，当旋转到直线恰好经过点(2,2)的过程中，相应的直线(不包括过点(2,2)的直线)与该函数的图象都有三个不同的交点，再进一步旋转，相应的直线与该函数的图象都不再有三个不同的交点，因此满足题意的k的取值范围是(0,1)．答案：A6\n二、填空题7．解析：设所求直线为(x＋3y－10)＋λ(3x－y)＝0，整理，得(1＋3λ)x＋(3－λ)y－10＝0.由点到直线距离公式，得λ＝±3.∴所求直线为x＝1和4x－3y＋5＝0.答案：x＝1或4x－3y＋5＝08．解析：表示点(x，y)到原点的距离．根据数形结合得的最小值为原点到直线2x＋y＋5＝0的距离，即d＝＝.答案：9．解析：法一：由指数函数的性质可得：函数y＝a2x－2(a>2，a≠1)的图象恒过点A(1,1)，而A∈l，∴m＋n－1＝0，即m＋n＝1，由基本不等式可得：m2＋n2≥(m＋n)2＝.O到直线l的距离d＝≤＝，∴O到直线l的距离的最大值为.法二：∵直线l：mx＋ny－1＝0经过点A(1,1)，∴坐标原点O到直线l的距离的最大值为|OA|＝.答案：三、解答题10．解：法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝3，此时与l1、l2的交点分别为A(3，－4)和B(3，－9)，截得的线段AB的长|AB|＝|－4＋9|＝5.符合题意．若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y＝k(x－3)＋1.解方程组 得A(，－)解方程组 得B(，－)由|AB|＝5，得(－)2＋(－＋)2＝52.解之，得k＝0，即所求的直线方程为y＝1.综上可知，所求l的方程为x＝3或y＝1.法二：由题意，直线l1、l2之间的距离为d＝＝，且直线l被平行直线l1、l2所截得的线段AB的长为5(如图所示)，设直线l与直线l1的夹角为θ，6\n则sinθ＝＝，故θ＝45°.由直线l1：x＋y＋1＝0的倾斜角为135°，知直线l的倾斜角为0°或90°，又由直线l过点P(3,1)，故直线l的方程为x＝3或y＝1.11．解：(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)·1＝0，即a2－a－b＝0.①又点(－3，－1)在l1上，∴－3a＋b＋4＝0②由①②得a＝2，b＝2.(2)∵l1∥l2，∴＝1－a，∴b＝.故l1和l2的方程可分别表示为：(a－1)x＋y＋＝0，(a－1)x＋y＋＝0，又原点到l1与l2的距离相等．∴4＝，∴a＝2或a＝，∴a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.12．解：(1)当两条平行直线与AB垂直时，两平行直线间的距离最大，最大值为d＝|AB|＝＝3，当两条平行线各自绕点B，A逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于0，所以0<d≤3，即所求的d的变化范围是(0,3]．(2)当d取最大值3时，两条平行线都垂直于AB，所以k＝－＝－＝－3，故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.6\n6
