第二章第四节函数的奇偶性与周期性一、选择题1．若奇函数f(x)＝3sinx＋c的定义域是[a，b]，则a＋b＋c等于( )A．3 B．－3C．0D．无法计算2．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )A．|f(x)|－g(x)是奇函数B．|f(x)|＋g(x)是偶函数C．f(x)－|g(x)|是奇函数D．f(x)＋|g(x)|是偶函数3．已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2＋x)＝f(2－x)，则f(4)＝( )A．4B．2C．0D．不确定4．若函数f(x)＝为奇函数，则a＝( )A.B.C.D．15．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)＝( )A．0B．1C．2D．36．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( )A．6B．7C．8D．9二、填空题7．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝________.8．设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为________．9．设函数f(x)是定义在R上周期为3的奇函数，若f(1)<1，f(2)＝，则a的取值范围是________．三、解答题10．设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m-5-\n－1)>0，求实数m的取值范围．11．已知函数f(x)＝是奇函数．(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．12．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2012)．详解答案一、选择题1．解析：由于函数f(x)是奇函数，且定义域为[a，b]，所以a＋b＝0，又因为f(0)＝0，得c＝0，于是a＋b＋c＝0.答案：C2．解析：设F(x)＝f(x)＋|g(x)|，由f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，得F(－x)＝f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|g(x)|＝F(x)，∴f(x)＋|g(x)|是偶函数．答案：D3．解析：∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0.-5-\n∴f(4)＝f(2－2)＝f(0)＝0.答案：C4．解析：法一：由已知得f(x)＝定义域关于原点对称，由于该函数定义域为，知a＝.法二：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，又f(x)＝，则＝在函数的定义域内恒成立，∴1－2a＝0，可得a＝.答案：A5．解析：由题意，f(x)是4为周期的奇函数，∴f(4)＝f(4＋0)＝f(0)＝0，f(8)＝f(4＋4)＝f(4)＝0.答案：A6．解析：由f(x)＝0，x∈[0,2)可得x＝0或x＝1，即在一个周期内，函数的图象与x轴有两个交点，在区间[0,6)上共有6个交点，当x＝6时，也是符合要求的交点，故共有7个不同的交点．答案：B二、填空题7．解析：法一：∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(1)＝－f(－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3.法二：设x>0，则－x<0，∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(－x)＝2(－x)2－(－x)＝2x2＋x，又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－2x2－x，∴f(1)＝－2×12－1＝－3.答案：－38．解析：由于f(x)是偶函数，故当x<0时，f(x)＝2－x－4，当x－2<0时，由f(x－2)＝2－(x－2)－4>0，解得x<0；当x－2≥0时，由f(x－2)＝2x－2－4>0，解得x>4.综上可知不等式解集为{x|x<0或x>4}．答案：{x|x<0，或x>4}9．解析：∵f(x)是奇函数，∴f(1)＝－f(－1)<1.-5-\n∴f(－1)>－1.又∵f(x)的周期为3，∴f(－1)＝f(2)＝>－1.即>0，解得a>0或a<－1.答案：(－∞，－1)∪(0，＋∞)三、解答题10．解：由f(m)＋f(m－1)>0，得f(m)>－f(m－1)，即f(1－m)<f(m)．又∵f(x)在[0,2]上单调递减且f(x)在[－2,2]上为奇函数，∴f(x)在[－2,2]上为减函数．∴即解得－1≤m＜.11．解：(1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象知所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．12．解：(1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2，∴f(x)＝x2＋2x.又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.从而求得x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.(3)f(0)＝0，f(2)＝0，-5-\nf(1)＝1，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＋f(2011)＋f(2012)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2012)＝0.-5-
