第二章第五节函数的图象一、选择题1．y＝x＋cosx的大致图象是( )2．方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)内( )A．没有根 B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根D．有无穷多个根3．若对任意x∈R，不等式|x|≥ax恒成立，则实数a的取值范围是( )A．a<－1B．|a|≤1C．|a|<1D．a≥14．给出四个函数，分别满足①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，②g(x＋y)＝g(x)·g(y)，③h(x·y)＝h(x)＋h(y)，④m(x·y)＝m(x)·m(y)．又给出四个函数的图象，那么正确的匹配方案可以是( )A．①甲，②乙，③丙，④丁B．①乙，②丙，③甲，④丁C．①丙，②甲，③乙，④丁D．①丁，②甲，③乙，④丙5．已知f(x)＝，则如图中函数的图象错误的是( )6．f(x)的定义域为R，且f(x)＝，若方程f(x)＝x＋a有两不同实根，则a的取值范围为( )A．(－∞，1)B．(－∞，1]C．(0,1)D．(－∞，＋∞)二、填空题7．已知y＝f(x)是R上的增函数，A(0，－1)、B(3,1)是其图象上两个点，则不等式|f(x＋1)|<1的解集是________．-5-\n8．已知a>0，且a≠1，f(x)＝x2－ax，当x∈(－1,1)时，均有f(x)<，则实数a的取值范围是________．9．已知函数y＝f(x)和y＝g(x)在[－2,2]的图象如下图所示：则方程f[g(x)]＝0有且仅有________个根，方程f[f(x)]＝0有且仅有________个根．三、解答题10．若方程2a＝|ax－1|(a>0，a≠1)有两个实数解，求实数a的取值范围．11．(1)已知函数y＝f(x)的定义域为R，且当x∈R时，f(m＋x)＝f(m－x)恒成立，求证y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称；(2)若函数y＝log2|ax－1|的图象的对称轴是x＝2，求非零实数a的值．12．当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，求a的取值范围．详解答案一、选择题1．解析：当x＝0时，y＝1；当x＝时，y＝；当x＝－时，y＝－-5-\n，观察各选项可知B正确．答案：B2．解析：如图所示，由图象可得两函数图象有两个交点，故方程有且仅有两个根答案：C3．解析：如图所示，由图可知，当－1≤a≤1，即|a|≤1时不等式恒成立．答案：B4．解析：图象甲是一个指数函数的图象，它应满足②；图象乙是一个对数函数的图象，它应满足③；图象丁是y＝x的图象，满足①.答案：D5．解析：因f(x)＝其图象如图，验证知f(x－1)，f(－x)，f(|x|)的图象均正确，只有|f(x)|的图象错误．答案：D6．解析：x≤0时，f(x)＝2－x－1,0＜x≤1时，－1≤x－1≤0，f(x)＝f(x－1)＝2－(x－1)－1，故x>0时，f(x)是周期函数．如图：欲使方程f(x)＝x＋a有两个不同的实数解，即函数f(x)的图象与直线y＝x＋a有两个不同的交点，故a<1.答案：A二、填空题7．解析：|f(x＋1)|<1⇔－1<f(x＋1)<1⇔f(0)<f(x＋1)<f(3)，又y＝f(x)是R上的增函数，∴0<x＋1<3.∴－1<x<2.答案：{x|－1<x<2}8．解析：由题知，当x∈(－1,1)时，f(x)＝x2－ax<，即x2－-5-\n<ax.在同一坐标系中分别作出二次函数y＝x2－，指数函数y＝ax的图象，如图，当x∈(－1,1)时，要使指数函数的图象均在二次函数图象的上方，需≤a≤2且a≠1.故实数a的取值范围是≤a＜1或1＜a≤2.答案：[，1)∪(1,2]9．解析：由图可知f(x)＝0有三个根，设为x1，x2，x3，－2<x1<－1，x2＝0,1<x3<2.令g(x)＝x1，由g(x)图象可知方程g(x)＝x1有两个根，令g(x)＝0得两个根，令g(x)＝x3得两个根，∴f[g(x)]＝0有6个根，同理可看出f[f(x)]＝0有5个根．答案：6 5三、解答题10．解：当a>1时，函数y＝|ax－1|的图象如图①所示，显然直线y＝2a与该图象只有一个交点，故a>1不合适；当0<a<1时，函数y＝|ax－1|的图象如图②所示，要使直线y＝2a与该图象有两个交点，则0<2a<1，即0<a<.综上所述，实数a的取值范围为(0，)．11．解：(1)设P(x0，y0)是y＝f(x)图象上任意一点，则y0＝f(x0)．又P点关于x＝m的对称点为P′，则P′的坐标为(2m－x0，y0)．由已知f(x＋m)＝f(m－x)，得f(2m－x0)＝f[m＋(m－x0)]＝f[m－(m－x0)]＝f(x0)＝y0.即P′(2m－x0，y0)在y＝f(x)的图象上．∴y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称．(2)对定义域内的任意x，有f(2－x)＝f(2＋x)恒成立．∴|a(2－x)－1|＝|a(2＋x)－1|恒成立，-5-\n即|－ax＋(2a－1)|＝|ax＋(2a－1)|恒成立．又∵a≠0，∴2a－1＝0，得a＝.12．解：设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的图象在f2(x)＝logax的下方即可．当0<a<1时，综合函数图象知显然不成立．当a>1时，如图，要使在(1,2)上，f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2，loga2≥1，∴1＜a≤2.∴a的取值范围是(1,2]．-5-
