数乘向量 向量的线性运算必备知识基础练1.已知=a+5b,=-2a+8b,=3(a-b),则( ) A.A,B,D三点共线B.A,B,C三点共线C.B,C,D三点共线D.A,C,D三点共线答案A解析=-2a+8b+3(a-b)=a+5b=,所以A,B,D三点共线.2.下面四种说法:①对于实数m和向量a,b,恒有m(a-b)=ma-mb;②对于实数m,n和向量a,恒有(m-n)a=ma-na;③对于实数m和向量a,b,若ma=mb,则a=b;④对于实数m,n和向量a,若ma=na,则m=n.其中正确说法的个数是( )A.4B.3C.2D.1答案C解析由数乘向量运算律,得①②均正确.对于③,若m=0,由ma=mb,未必一定有a=b.对于④,若a=0,由ma=na,未必一定有m=n.3.在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=( )A.B.C.D.答案A解析如图,=-7
=-)==)=.4.已知△ABC中,向量=λ()(λ∈R),则点P的轨迹通过△ABC的( )A.垂心B.内心C.外心D.重心答案D解析设D为BC中点,则=2,∴=2λ,即点P在中线AD上,可知点P的轨迹必过△ABC的重心,故选D.5.(2020山东临沂高一月考)在△ABC中,O为其内部一点,且满足+4=0,则△ABC和△AOC的面积比是( )A.2∶1B.4∶1C.6∶1D.8∶1答案C解析在△ABC中,O为其内部一点,且满足+4=0,设D是AB中点,连接OD,如图所示,则=2,且S△ABC=2S△ACD,∴2+4=0,∴C,O,D三点共线,且OD=2OC,∴3S△AOC=S△ACD,∴6S△AOC=S△ABC,∴S△ABC∶S△AOC=6∶1.6.(多选题)设a,b都是非零向量.下列四个条件中,使成立的条件是( )A.2a=bB.a∥bC.a=2bD.a∥b且|a|=|b|答案AC7
解析分别表示与a,b同向的单位向量.对于A,当2a=b时,;对于B,当a∥b时,可能有a=-b,此时;对于C,当a=2b时,;对于D,当a∥b且|a|=|b|时,可能有a=-b,此时.综上所述,使成立的条件是a=2b,2a=b.7.在四边形ABCD中,=3e,=-5e,且||=||,则四边形ABCD的形状为 . 答案等腰梯形解析由已知可得=-,所以,且||≠||.又||=||,所以四边形ABCD为等腰梯形.8.已知点P在线段AB上,且||=4||,设=λ,则实数λ= . 答案解析因为||=4||,所以P是线段AB的四等分点且靠近点A,因此.9.如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=AD,=a,=b.(1)用a,b分别表示向量;(2)求证:B,E,F三点共线.(1)解∵)=(a+b),∴(a+b),∵b,∴=-a+b.(2)证明由(1)知=-a+b,=-a+b=-a+b,∴.∴共线.7
又BE,BF有公共点B,∴B,E,F三点共线.关键能力提升练10.(多选题)已知e1,e2是不共线向量,则下列各组向量中是共线向量的是( )A.a=5e1,b=7e1B.a=e1-e2,b=3e1-2e2C.a=e1+e2,b=3e1-3e2D.a=e1-e2,b=3e1-e2答案ABD解析对A,a与b显然共线;对B,因为b=3e1-2e2=6=6a,故a与b共线;对C,设b=3e1-3e2=k(e1+e2),得无解,故a与b不共线;对D,b=3=3a,所以a与b共线.11.(多选题)正五角星是一个非常优美的几何图形,且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,且.下列关系中不正确的是( )A.B.C.D.答案BCD解析在A中,,故A正确;在B中,,故B错误;在C中,,故C错误;在D中,,若,则=0,不合题意,故D错误.故选BCD.12.生于瑞士的数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理:“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上.”这就是著名的欧拉线定理,在△ABC中,O,H,G分别是外心、垂心和重心,D为BC边的中点,下列四个结论:(1)=2;(2)=0;(3)=2;(4)S△ABG=S△BCG=S△ACG,其中正确的个数为( )A.1B.2C.3D.47
答案D解析在△ABC中,O,H,G分别是外心、垂心和重心,画出图形,如图所示;对于(2),根据三角形的重心性质得=0,(2)正确;对于(1)(3),∵AH∥OD,∴△AHG∽△DOG,∴=2,∴=2=2,(1)(3)正确;对于(4),过点G作GE⊥BC,垂足为E,则,∴△BGC的面积为S△BGC=BC·GE=BC××AN=S△ABC.同理,S△AGC=S△AGB=S△ABC,(4)正确.故选D.13.(2020陕西西安高二检测)在△ABC中,D是BC上任意一点,2=λ+μ,则λ+μ=( )A.-B.-2C.D.2答案A解析设=k=k-k,由2.∴)=-=,∴λ=-,μ=,∴λ+μ=-.14.在正方形ABCD中,E为线段AD的中点,若=λ+μ,则λ+μ= ;若E在线段AD上,异于A,D两点,则λ+μ的取值范围为 . 7
答案 (1,2)解析(1)因为=,所以λ+μ=+1=.(2)=λ,λ∈(0,1),所以λ+μ∈(1,2).15.如图,在△ABC中,延长CB到D,使BD=BC,当点E在线段AD上移动时,若=λ+μ,则t=λ-μ的最大值是 ;最小值是 . 答案3 0解析设=k,0≤k≤1,则=k(+2)=k[+2()]=2k-k,∵=λ+μ,∴∴t=λ-μ=3k.又0≤k≤1,∴当k=1时,t取最大值3.当k=0时,t取最小值0.16.设D,E,F分别是△ABC的三边BC,CA,AB上的点,且=2=2=2,判断是否平行,并求||∶||.解由=2(),得.同理可得,,所以=-,所以()∥,且||=|,7
即||∶||=1∶3.17.如图,F为线段BC的中点,CE=2EF,DF=AF,设=a,=b,试用a,b表示.解因为=b-a,(b-a),所以a+b.因为(a+b),所以(a+b),所以(a+b)-b=a-b.学科素养创新练18.已知O,A,M,B为平面上四点,且向量=λ+(1-λ)(λ∈R,λ≠0,且λ≠1).(1)求证:A,B,M三点共线;(2)若点B在线段AM上,求实数λ的取值范围.(1)证明因为=λ+(1-λ),所以=λ-λ=λ-λ,即=λ.又λ∈R,λ≠1,λ≠0且有公共点A,所以A,B,M三点共线.(2)解由(1)知=λ,若点B在线段AM上,则同向,且||>||(如图所示).所以λ>1.即实数λ的取值范围是(1,+∞).7
