平面向量的坐标及其运算必备知识基础练1.已知点A(1,0),B(3,2),则=( ) A.(0,-1)B.(1,-1)C.(2,2)D.(-1,0)答案C解析因为A(1,0),B(3,2),所以=(2,2).故选C.2.在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),则BC边的中线AD的长是( )A.2B.C.3D.答案B解析由题意知,BC的中点为D,∴,∴||=.故选B.3.(多选题)已知a=(1,0),|b|=1,c=(0,-1),满足3a+kb+7c=0,则实数k的值可能为( )A.B.-C.58D.-58答案AB解析由题可得,kb=-3a-7c=-3(1,0)-7(0,-1)=(-3,7),∴|kb|=|k||b|=.∵|b|=1,∴k=±.4.已知向量a=(2,x2),b=(-1,y2-2),若a,b共线,则y的取值范围是( )A.[-1,1]B.[-]C.[0,]D.[,+∞)答案B解析∵a=(2,x2),b=(-1,y2-2),且a,b共线,∴2(y2-2)-(-1)x2=0,∴x2=4-2y2≥0,6
整理得y2≤2,解得-≤y≤.∴y的取值范围是[-].故选B.5.已知向量a=(3,-2),b=(x,y-1),且a∥b,若x,y为正数,则的最小值是( )A.B.C.16D.8答案D解析因为a∥b,所以3(y-1)=-2x,即2x+3y=3,那么(2x+3y)=12+≥12+2=8,当且仅当时等号成立,又x,y为正数,所以解得x=,y=,所以原式的最小值为8,故选D.6.已知点M(4,-1),N(1,3),则= ;与同方向的单位向量为 . 答案(-3,4) 解析=(1-4,3+1)=(-3,4),所以与同方向的单位向量为(-3,4)=.7.若A(1,2),B(a,-2),C(3,1-a)三个不同的点共线,则a= . 答案-3解析依题意,得=(a-1,-4),=(2,-1-a).由,得(a-1)(-1-a)=(-4)×2,所以a2=9,解得a=±3,经检验知a=-3满足题意.8.已知向量a=(x,2),b=(-1,1),若|a-b|=|a+b|,则x的值为 . 答案2解析因为a=(x,2),b=(-1,1),所以a+b=(x-1,3),a-b=(x+1,1).因为|a-b|=|a+b|,所以有,解得x=2.9.已知=(1,1),=(3,-1),=(a,b).(1)若A,B,C三点共线,求a,b的关系;(2)若=2,求点C的坐标.解由题意知,=(2,-2),=(a-1,b-1).(1)∵A,B,C三点共线,∴,∴2(b-1)-(-2)×(a-1)=0,∴a+b=2.(2)∵=2,∴(a-1,b-1)=2(2,-2)=(4,-4),∴解得∴点C的坐标为(5,-3).6
10.已知向量a=(3,2),b=(-1,2).(1)求|a-2b|的值;(2)若3a-b与a+kb共线,求实数k的值.解(1)∵a-2b=(5,-2),∴|a-2b|=.(2)3a-b=(10,4),a+kb=(3-k,2+2k),∵3a-b与a+kb共线,∴10(2+2k)-4(3-k)=0,解得k=-.关键能力提升练11.(多选题)已知向量a=(x,3),b=(-3,x),则下列叙述中,不正确的是( )A.存在实数x,使a∥bB.存在实数x,使(a+b)∥aC.存在实数x,m,使(ma+b)∥aD.存在实数x,m,使(ma+b)∥b答案ABC解析由a∥b,得x2=-9,无实数解,故A中叙述错误;a+b=(x-3,3+x),由(a+b)∥a,得3(x-3)-x(3+x)=0,即x2=-9,无实数解,故B中叙述错误;ma+b=(mx-3,3m+x),由(ma+b)∥a,得(3m+x)x-3(mx-3)=0,即x2=-9,无实数解,故C中叙述错误;由(ma+b)∥b,得-3(3m+x)-x(mx-3)=0,即m(x2+9)=0,解得m=0,x∈R,故D中叙述正确.12.已知向量a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d,那么( )A.k=1,且c与d同向B.k=1,且c与d反向C.k=-1,且c与d同向D.k=-1,且c与d反向答案D6
解析∵a=(1,0),b=(0,1),若k=1,则c=a+b=(1,1),d=a-b=(1,-1),显然,c与d不平行,排除A,B.若k=-1,则c=-a+b=(-1,1),d=a-b=-(-1,1),即k=-1,且c与d反向.13.(多选题)已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0),(3,0),(1,-5),则第四个顶点的坐标是( )A.(1,5)B.(5,-5)C.(-3,-5)D.(5,5)答案ABC解析设A(-1,0),B(3,0),C(1,-5),第四个顶点为D,①若这个平行四边形为▱ABCD,则,∴D(-3,-5);②若这个平行四边形为▱ACDB,则,∴D(5,-5);③若这个平行四边形为▱ACBD,则,∴D(1,5).综上所述,D点坐标为(1,5)或(5,-5)或(-3,-5).14.已知a=(1,2m-1),b=(2-m,-2),若向量a,b不共线,则实数m的取值范围为 . 答案(-∞,0)∪解析∵向量a,b不共线,∴1×(-2)≠(2m-1)(2-m),解得m≠0,且m≠.15.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+4b与a-2b共线,则m的值为 . 答案-2解析∵ma+4b=m(2,3)+4(-1,2)=(2m-4,3m+8),a-2b=(2,3)-2(-1,2)=(4,-1).又向量ma+4b与a-2b共线,∴-(2m-4)=4(3m+8),解得m=-2.16.已知向量a=(1,2),b=(2,k),c=(8,7).(1)当k为何值时,a∥(b+c)?(2)当k=1时,求满足条件c=ma+nb的实数m,n的值.解(1)∵a=(1,2),b=(2,k),c=(8,7),∴b+c=(10,k+7).∵a∥(b+c),∴1×(k+7)-2×10=0,解得k=13,∴当k=13时,a∥(b+c).6
(2)当k=1时,b=(2,1),∵c=ma+nb,即(8,7)=(m+2n,2m+n),∴解得m=2,n=3.17.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),回答下列问题:(1)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k;(2)设d=(x,y)满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|=1,求d.解(1)∵(a+kc)∥(2b-a),又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,∴k=-.(2)∵d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,∴解得∴d=4-,-+1或d=.18.(2020四川宜宾高一月考)已知向量a=(-3,2),b=(2,1),c=(3,-1),t∈R.(1)求|a+tb|的最小值;(2)若a-tb与c共线,求t的值.解(1)∵a=(-3,2),b=(2,1),∴a+tb=(2t-3,t+2),∴|a+tb|=(t∈R),∴当t=时,|a+tb|的最小值为.(2)∵a-tb=(-3-2t,2-t),c=(3,-1),a-tb与c共线,∴(-3-2t)×(-1)=3(2-t),∴t=.学科素养创新练19.已知点O(0,0),A(1,2),B(3,4),+t.(1)若点P在第二象限,求t的取值范围;(2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由.解(1)+t=(1,2)+t(2,2)=(2t+1,2t+2),由题意,得解得-1<t<-,即t的取值范围是.6
(2)四边形OABP不能成为平行四边形.理由:若四边形OABP是平行四边形,则,而=(2,2),=(2t+1,2t+2),因此需要但此方程组无实数解,所以四边形OABP不可能是平行四边形.20.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2).(1)若=0,求的坐标;(2)若=m+n(m,n∈R),且点P在函数y=x+1的图像上,求m-n的值.解(1)设点P的坐标为(x,y),因为=0,又=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y),所以解得所以点P的坐标为(2,2),故的坐标为(2,2).(2)设点P的坐标为(x0,y0),因为A(1,1),B(2,3),C(3,2),所以=(2,3)-(1,1)=(1,2),=(3,2)-(1,1)=(2,1).因为=m+n,所以(x0,y0)=m(1,2)+n(2,1)=(m+2n,2m+n),所以两式相减,整理得m-n=y0-x0,又因为点P在函数y=x+1的图像上,所以y0-x0=1,所以m-n=1.6
