向量的加法基础过关练题组一 向量的加法运算1.(2020江西宜春高二月考)向量(AB+MB)+(BO+BC)+OM等于( )A.AMB.0C.0D.AC2.下列等式错误的是( )A.a+0=0+a=aB.AB+BC+AC=0C.AB+BA=0D.CA+AC=MN+NP+PM3.(2020山西芮城高一线上月考)如图,在矩形ABCD中,AO+OB+AD=( )A.ABB.ACC.ADD.BD4.如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则OP+OQ等于( )A.OHB.OGC.FOD.EO5.在矩形ABCD中,|AB|=4,|BC|=2,则向量AB+AD+AC的长度等于( )A.25B.45C.12D.66.(2020山东潍坊高一下期末)设a,b都是单位向量,则|a+b|的取值范围是 . 7.如图,O为正六边形ABCDEF的中心,求出下列向量:(1)OA+OC;(2)OA+FE.8
8.如图,在△ABC中,O为重心,点D,E,F分别是边BC,AC,AB的中点,化简下列各式:(1)BC+CE+EA;(2)OE+AB+EA;(3)AB+FE+DC.题组二 向量加法的实际应用9.(2020宁夏六盘山高级中学高一期末)两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°时,合力大小为30N.当它们的夹角为120°时,合力大小为 . 10.轮船从A港沿东偏北30°方向行驶了40nmile到达B处,再由B处沿正北方向行驶40nmile到达C处,求此时轮船关于A港的相对位置.11.如图,用两根绳子把重10N的物体W吊在水平杆子AB上,∠ACW=150°,∠BCW=120°,求A处和B处所受力的大小.(绳子的重量忽略不计)8
能力提升练一、单项选择题1.(疑难1,★★☆)下列式子中不能化简为BC的是( )A.BA+ACB.BD+DA+ACC.AB+BD+DCD.DC+BA+AD2.(2020湖南张家界高一期末,★★☆)在四边形ABCD中,若AC=AB+AD,则四边形ABCD一定是( )A.正方形B.菱形C.矩形D.平行四边形3.(疑难2,★★☆)已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足PA+PB=PC,则下列结论中正确的是( )A.P在△ABC的内部B.P在△ABC的边AB上C.P在AB边所在直线上D.P在△ABC的外部4.(疑难1、2,★★☆)如图,在四边形ABCD中,下列各式成立的是( )A.BC+BD=CDB.CD+DA=ACC.CB+AD+BA=CDD.AB+AC=BD+DC二、多项选择题5.(疑难1、2,★★☆)已知点D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则下列等式中正确的是( )A.FD+DA=FAB.FD+DE+EF=0C.BE+EF+FD=BDD.DA+DE=FD8
6.(★★☆)如图,在平行四边形ABCD中,下列计算正确的是( )A.AB+AD=ACB.AC+CD+DO=OAC.AB+AD+CD=ADD.AC+BA+DA=0三、填空题7.(★★☆)在矩形ABCD中,|AB|=3,|AD|=4,则|BA+BD+BC|= . 8.(2020湖南师大附中高一期中,疑难1,★★☆)一条河的两岸平行,河水从西向东流去,一艘船从河的南岸某处出发驶向北岸.已知船的速度|v1|=20km/h,水流速度|v2|=10km/h,要使该船行驶的航程最短,则船速v1的方向与河的南岸上游的夹角为 . 四、解答题9.(★★☆)如图所示,为了调运物资,一艘船从江的南岸A点出发,以53km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东5km/h.(1)试用向量表示江水的速度、船速以及船实际航行的速度;(2)求船实际航行速度的大小与方向(用与江水的速度方向的夹角表示).10.(疑难1、2,★★☆)在四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,且|AB|=|AD|=1,OA+OC=OB+OD=0,cos∠DAB=12.求|DC+BC|与|CD+BC|.8
答案全解全析基础过关练1.D (AB+MB)+(BO+BC)+OM=AB+BO+OM+MB+BC=AC.故选D.2.B 由向量加法的运算法则可知AB+BC+AC=AC+AC=2AC.3.B 由题意得,AO+OB+AD=AB+AD=AC.故选B.4.C 设a=OP+OQ,利用向量加法的平行四边形法则作出向量OP+OQ,再平移,发现a=FO.5.B 因为AB+AD=AC,所以AB+AD+AC的长度为AC的模的2倍,因为|AC|=|AB|2+|BC|2=25,所以|AB+AD+AC|=45.6.答案 [0,2]解析 a,b同向时,a+b的模最大,为2,a,b反向时,a+b的模最小,为0,故|a+b|的取值范围为[0,2].7.解析 (1)∵OA=CB,∴OA+OC=OC+CB=OB.(答案不唯一)(2)∵FE=OD,∴OA+FE=OA+OD=0.8.解析 (1)BC+CE+EA=BE+EA=BA.(2)OE+AB+EA=(OE+EA)+AB=OA+AB=OB.(3)易知FE为△ABC的一条中位线,∴FE∥BC,FE=12BC.∵点D是BC的中点,8
∴BD=12BC,∴FE=BD,∴AB+FE+DC=AB+BD+DC=AD+DC=AC.9.答案 152N信息提取 ①F1,F2是共点力.②F1与F2的大小相等.③F1,F2的夹角为90°时,合力大小为30N.④当F1,F2的夹角为120°时,求合力大小.数学建模 本题以力的合成为背景,构建向量加法的数学模型,考查向量加法的平行四边形法则.根据两力大小相等及夹角为90°时,合力大小为30N可求得两力的大小,然后根据F1,F2的夹角为120°,可求得它们合力的大小.解析 根据向量的平行四边形法则,作出下图,则F1+F2=AC.若F1,F2的夹角为90°,即∠BAD=90°,则|F1|=|F2|=30×sin45°=152;若夹角为120°,则∠BAC=∠BCA=60°,所以△ABC为等边三角形,所以|AC|=|F1|=152,则合力的大小为152N.10.解析 如图所示,AB,BC分别表示轮船的两次位移,则AC表示轮船的和位移,AC=AB+BC.延长CB至点D,使点D位于A的正东方向,在△ABD中,∠ADB=90°,∠DAB=30°,|AB|=40nmile,所以|DB|=20nmile,|AD|=203nmile.在△ADC中,∠ADC=90°,|DC|=60nmile,所以|AC|=|AD|2+|DC|2=(203)2+602=403(nmile).因为|AC|=2|AD|,所以∠CAD=60°.所以轮船此时位于A港东偏北60°,且距A港403nmile的C处.11.解析 如图所示,8
设CE,CF分别表示A处,B处所受的力,10N的重力用CG表示,则CE+CF=CG.易得∠ECG=180°-150°=30°,∠FCG=180°-120°=60°,∠FGE=90°,∴易证得四边形ECFG为矩形,∴|CE|=|CG|cos30°=10×32=53(N),|CF|=|CG|cos60°=10×12=5(N).∴A处所受力的大小为53N,B处所受力的大小为5N.能力提升练一、单项选择题1.C AB+BD+DC=AD+DC=AC.故选C.2.D 因为AC=AB+AD,根据向量的三角形法则,有AC=AB+BC,则可知AD=BC,故四边形ABCD为平行四边形.3.D 通过画图(图略)可以排除A,B,C,当点P在△ABC的外部,且四边形PACB为平行四边形时可满足题意.故选D.4.C BC+BD≠CD,A错误;CD+DA=CA,B错误;CB+AD+BA=CB+BA+AD=CD,C正确;BD+DC=BC=BA+AC,D错误.故选C.二、多项选择题5.ABC 由向量加法的平行四边形法则可知,DA+DE=DF≠FD.6.ACD 由向量加法的平行四边形法则可知AB+AD=AC,故A正确;AC+CD+DO=AD+DO=AO≠OA,故B不正确;AB+AD+CD=AC+CD=AD,故C正确;AC+BA+DA=BA+AC+DA=BC+DA=0,故D正确.故选ACD.三、填空题7.答案 108
解析 易知|BD|=5,由向量加法的平行四边形法则知,BA+BC=BD,所以|BA+BD+BC|=2|BD|=2×5=10.8.答案 60°解析 设船的实际速度为v,则v=v1+v2,记v1与v的夹角为θ,要使船行驶的航程最短,则v⊥v2,所以sinθ=|v2||v1|=12,所以θ=30°,所以船速v1的方向与河的南岸上游的夹角为60°.四、解答题9.解析 (1)如图所示,AD表示船速,AB表示江水的速度.易知AD⊥AB,以AD,AB为邻边作矩形ABCD,则AC表示船实际航行的速度.(2)在Rt△ABC中,|AB|=5,|BC|=|AD|=53,所以|AC|=|AB|2+|BC|2=52+(53)2=100=10(km/h).因为tan∠CAB=|BC||AB|=3,所以∠CAB=60°.因此,船实际航行速度的大小为10km/h,方向与江水的速度方向的夹角为60°.10.解析 ∵OA+OC=OB+OD=0,∴AO=OC,OB=DO,∴四边形ABCD是平行四边形,又|AB|=|AD|=1,∴平行四边形ABCD为菱形,又cos∠DAB=12,且0°<∠DAB<180°,∴∠DAB=60°,∴△ABD为正三角形,易得AO=32,∴|DC+BC|=|AB+BC|=|AC|=3,|CD+BC|=|BA+BC|=|BD|=|AB|=1.8
