随机事件的独立性必备知识基础练1.掷一枚硬币两次,记事件A=“第一次出现正面”,B=“第二次出现反面”,下列结论正确的为( ) A.A与B相互独立B.P(A∪B)=P(A)+P(B)C.A与B互斥D.P(AB)=答案A解析对于选项A,由题意得事件A的发生与否对事件B发生的概率没有影响,所以A与B相互独立,所以A中结论正确.对于选项B,C,由于事件A与B可以同时发生,所以事件A与B不互斥,故选项B,C中结论不正确.对于选项D,由于A与B相互独立,因此P(AB)=P(A)P(B)=,所以D中结论不正确.故选A.2.甲、乙同时参加某次法语考试,甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6,0.7,两人考试相互独立,则甲、乙两人都未达到优秀的概率为( )A.0.42B.0.28C.0.18D.0.12答案D解析由于甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6,0.7,则甲、乙考试未达到优秀的概率分别为0.4,0.3,因为两人考试相互独立,所以甲、乙两人都未达到优秀的概率为0.4×0.3=0.12.故选D.3.某市某校在秋季运动会中,安排了篮球投篮比赛.现有20名同学参加篮球投篮比赛,已知每名同学投进的概率均为0.4,每名同学有2次投篮机会,且各同学投篮之间没有影响.现规定:投进两个得4分,投进一个得2分,一个未进得0分,则一名同学投篮得2分的概率为( )A.0.5B.0.48C.0.4D.0.328
答案B解析设“第一次投进”为事件A,“第二次投进”为事件B,则得2分的概率为P=P(A)+P(B)=0.4×0.6+0.6×0.4=0.48.故选B.4.(多选题)设M,N为两个随机事件,下列命题为真命题的是( )A.若P(M)=,P(N)=,P(MN)=,则M,N为相互独立事件B.若P()=,P(N)=,P(MN)=,则M,N为相互独立事件C.若P(M)=,P()=,P(MN)=,则M,N为相互独立事件D.若P(M)=,P()=,P()=,则M,N为相互独立事件答案AB5.(2020辽宁高一期末)从某地区的儿童中挑选体操学员,已知儿童体型合格的概率为,身体关节构造合格的概率为.从中任挑一儿童,这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)( )A.B.C.D.答案B解析设事件A:“从中任挑一儿童,这两项至少有一项合格”,则其对立事件B:“从中任挑一儿童,这两项都不合格”,由题可知,儿童体型不合格的概率为,身体关节构造不合格的概率为,所以P(B)=,故P(A)=1-P(B)=1-.6.一射手对同一目标独立地进行4次射击,已知至少命中一次的概率为,则此射手的命中率是 ,此射手恰好命中三次的概率是 . 答案解析设此射手每次射击命中的概率为P,分析可得,至少命中一次的对立事件为射击四次全都没有命中,由题意可知该射手对同一目标独立地射击四次全都没有命中的概率为1-,则(1-P)4=,解得P=.此射手恰好命中三次的概率为P1=.7.某自助银行共有A,B,C三台ATM机,在某段时间内,这三台ATM机被占用的概率分别为.若一位顾客到自助银行使用ATM机,则其不需要等待的概率为 . 8
答案解析设事件A,B,C分别为“ATM机A,B,C被占用”,则P(A)=,P(B)=,P(C)=.记事件D:“顾客不需要等待”,则为“顾客需要等待”,由已知得=ABC,所以P()=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=,于是P(D)=1-P()=1-.8.一名学生骑自行车上学,从他家到学校的途中有5个交通岗,假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是.求:(1)这名学生在途中遇到4次红灯的概率;(2)这名学生在首次停车前经过了3个路口的概率;(3)这名学生至少遇到一次红灯的概率.解(1)设事件A为在途中遇到4次红灯,P(A)=×5=.(2)设首次停车前经过3个路口为事件B,则P(B)=.(3)设至少遇到一次红灯为事件C,则其对立事件为一次红灯都未遇到,所以P(C)=1-.9.(2020浙江高三检测)眉山市位于四川西南,有“千载诗书城,人文第一州”的美誉,这里是大文豪苏轼、苏洵、苏辙的故乡,也是人们旅游的好地方.在今年的国庆黄金周,为了丰富游客的文化生活,每天在东坡故里三苏祠举行“三苏文化”知识竞赛.已知甲、乙两队参赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得一分,答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为,乙队中3人答对的概率分别为,且各人回答正确与否相互之间没有影响.(1)分别求甲队总得分为0分、2分的概率;(2)求甲队得2分、乙队得1分的概率.解(1)记“甲队总得分为0分”为事件A,“甲队总得分为2分”为事件B,甲队总得分为0分,即甲队三人都回答错误,其概率P(A)=.8
甲队总得分为2分,即甲队三人中有1人答错,其余两人答对,其概率P(B)=3××1-=;(2)记“乙队得1分”为事件C,“甲队得2分乙队得1分”为事件D,事件C即乙队三人中有2人答错,其余1人答对,P(C)=1-××1-+×1-×1-+1-×1-×=,甲队得2分乙队得1分即事件B,C同时发生,则P(D)=P(B)P(C)=.关键能力提升练10.端午节放假,甲回老家过节的概率为,乙、丙回老家过节的概率分别为.假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为( )A.B.C.D.答案C解析设甲、乙、丙回家过节分别为事件A,B,C,至少1人回老家过节为事件D,则P(D)=1-P()=1-P()P()P()=1-.故选C.11.体育课上定点投篮项目测试规则:每位同学有3次投篮机会,一旦投中,则停止投篮,视为合格,否则一直投3次为止.每次投中与否相互独立,某同学一次投篮投中的概率为p,若该同学本次测试合格的概率为0.784,则p=( )A.0.4B.0.6C.0.1D.0.2答案A解析由题意可得p+p(1-p)+p(1-p)2=0.784,整理可得p(2-p+1-2p+p2)=p(p2-3p+3)=0.784,将各选项中的数分别代入方程可知A项正确.12.甲、乙两名同学参加2021年高考,根据高三年级一年来的各种大、中、小型数学模拟考试总结出来的数据显示,甲、乙两人能考130分以上的概率分别为,甲、乙两人是否考130分以上相互独立,则预估这两个人在2021年高考中恰有一人数学考130分以上的概率为( )A.B.C.D.答案A8
解析因为这两个人在2021年高考中恰有一人数学考130分以上的概率为甲考130分以上乙未考到130分以上的概率与乙考130分以上甲未考到130分以上的概率的和,而甲考130分以上乙未考到130分以上的概率为×1-,乙考130分以上甲未考到130分以上的概率为1-×,因此,所求概率为×1-+1-×.13.已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为,若他们3人分别向目标各发1枪,则三枪中至少命中2枪的概率为 . 答案解析设事件A表示“甲命中”,事件B表示“乙命中”,事件C表示“丙命中”,则P(A)=,P(B)=,P(C)=,设事件D表示“他们3人分别向目标各发1枪,三枪中至少命中2枪”,则P(D)=P(AB)+P(AC)+P(BC)+P(ABC)=.14.(2020山东东营高二期中)在三角形ABC中,一机器人从三角形ABC的一个顶点移动到另一个顶点,(规定:每次只能从一个顶点移动到另一个顶点),而且按逆时针方向移动的概率为顺时针方向移动的概率的3倍,假设现在机器人的初始位置为顶点A处,则通过三次移动后返回到A处的概率为 . 答案解析设按顺时针方向移动的概率为p,则按逆时针方向移动的概率为3p,所以3p+p=1,解得p=,所以按顺时针方向移动的概率为,则按逆时针方向移动的概率为,初始位置为顶点A处,则通过三次移动后返回到A处,共有两种情况:三次都按逆时针方向移动的概率为,三次都按顺时针方向移动的概率为,所以通过三次移动后返回到A处的概率为.8
15.在奥运知识有奖问答竞赛中,甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题,已知甲答对这道题的概率是,甲、乙两人都回答错误的概率是,乙、丙两人都回答正确的概率是.设每人回答问题正确与否是相互独立的.(1)求乙答对这道题的概率;(2)求甲、乙、丙三人中,至少有一人答对这道题的概率.解(1)记甲、乙、丙答对这道题分别为事件A,B,C,设乙答对这道题的概率P(B)=x,由于每人回答问题正确与否是相互独立的,因此A,B,C是相互独立事件.由题意,得P()=P()P()=×(1-x)=,解得x=,即乙答对这道题的概率为.(2)设“甲、乙、丙三人中,至少有一人答对这道题”为事件M,丙答对这道题的概率P(C)=y.由题意得P(BC)=P(B)P(C)=×y=,解得y=.甲、乙、丙三人都回答错误的概率为P()=P()P()P()=.因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中,至少有一人答对这道题”是对立事件,所以所求事件概率为P(M)=1-.16.(2020辽宁高一期末)随着汽车的普及,“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试,要顺利地拿到驾驶证,需要通过四个科目的考试,其中科目二为场地考试.在每一次报名中,每个学员有5次参加科目二考试的机会(这5次考试机会中任何一次通过考试,就算顺利通过,即进入下一科目考试,或5次都没有通过,则需要重新报名),其中前2次参加科目二考试免费,若前2次都没有通过,则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校通过几年的资料统计,得到如下结论:男性学员参加科目二考试,每次通过的概率均为,女性学员参加科目二考试,每次通过的概率均为.现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试,在本次报名中,若这对夫妻参加科目二考试的原则为:通过科目二考试或者用完所有机会为止.(1)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率;(2)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率.8
解(1)设这对夫妻中,“丈夫在科目二考试中第i次通过”记为事件Ai,“妻子在科目二考试中第i次通过”为事件Bi(i=1,2,3,4,5),则P(Ai)=,P(Bi)=.设事件A=“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”,事件B=“妻子参加科目二考试不需要交补考费”,事件C=“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”.则P(A)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=,P(B)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=,P(C)=P(AB)=.因此,这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率为.(2)设事件D=“丈夫参加科目二考试需交补考费200元”,事件E=“妻子参加科目二考试需交补考费200元”,事件F=“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元”,则P(D)=P(A3)=,P(E)=P(B3)=,P(F)=P(AE+DB)=.因此,这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率为.学科素养创新练17.(2020辽宁高三月考)排球比赛采用5局3胜制,前4局比赛采用25分制,每个队只有赢得至少25分,并同时超过对方2分时,才胜1局;在决胜局(第五局)采用15分制,每个队只有赢得至少15分,并领先对方2分才能获胜.在每局比赛中,发球方赢得此球后可得1分,并获得下一球的发球权,否则交换发球权,并且对方得1分.现有甲、乙两队进行排球比赛:(1)若前三局比赛中甲已经赢两局,乙赢一局.接下来两队赢得每局比赛的概率均为,求甲队最后赢得整场比赛的概率.(2)若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局(第五局)中,两队当前的得分为甲、乙各14分,且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢1分的概率为,乙发球时甲赢1分的概率为,得分者获得下一个球的发球权.设两队打了x(x≤4)个球后甲赢得整场比赛,求x的取值及相应的概率p(x).解(1)甲队最后赢得整场比赛的情况为甲队第四局赢或第四局输第五局赢,所以甲队最后赢得整场比赛的概率为.(2)根据比赛规则,x的取值只能为2或4,对应比分为16∶14,17∶15.8
两队打了2个球后甲赢得整场比赛,即打第一个球甲发球甲得分,打第二个球甲发球甲得分,此时概率为p(2)=,两队打了4个球后甲赢得整场比赛,即打第一个球甲发球甲得分,打第二个球甲发球甲失分,打第三个球乙发球甲得分,打第四个球甲发球甲得分,或打第一个球甲发球甲失分,打第二个球乙发球甲得分,打第三个球甲发球甲得分,打第四个球甲发球甲得分,此时概率为p(4)=.8
