不等式及其性质[A级 基础巩固]1．(多选)已知a，b，c，d∈R，则下列结论中不成立的是( )A．若a＞b，c＞b，则a＞cB．若a＞－b，则c－a＜c＋bC．若a＞b，c＜d，则＞D．若a2＞b2，则－a＜－b解析：选ACD 选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立；选项C，不满足倒数不等式的条件，如a＞b＞0，c＜0＜d时，不成立；选项D，只有当a＞b＞0时才成立．故选A、C、D.2．下列命题中，正确的是( )A．若a＜b＜0，则＞B．若ac>bc，则a>bC．若<，则a<bD．若a>b，c>d，则a－c>b－d解析：选C ∵a＜b＜0，∴a－b＜0，a＜0，∴(a－b)a＞0.又∵－＝＜0，∴＜，可知A错误；当c<0时，ac>bc⇒a<b，故B错误；∵<，∴c≠0，又c2>0，∴a<b，故C正确；取a＝c＝2，b＝d＝1，可知D错误．3．(多选)若x>1>y，则下列不等式一定成立的是( )A．x－1>1－y B．x－1>y－1C．x－y>1－yD．1－x>y－x解析：选BCD 对选项A可用特殊值法．令x＝2，y＝－1，则x－1＝2－1<1－(－1)＝1－y，故选项A中不等式不成立；x－1－(y－1)＝x－y＞0，故选项B中不等式成立；x－y－(1－y)＝x－1>0，故选项C中不等式成立；1－x－(y－x)＝1－y>0，故选项D中不等式成立，故选B、C、D.4．若abcd<0，且a>0，b>c，d<0，则( )A．b<0，c<0B．b>0，c>0C．b>0，c<0D．0<c<b或c<b<05
解析：选D 由a>0，d<0，且abcd<0，知bc>0，又∵b>c，∴0<c<b或c<b<0.故选D.5．设0<α<，0≤β≤，则2α－的范围是( )A．0<2α－<B．－<2α－<C．0<2α－<πD．－<2α－<π解析：选D 由已知，得0＜2α＜π，0≤≤，∴－≤－≤0，由同向不等式相加得到－＜2α－＜π.6．能说明“若a＞b，则＜”为假命题的一组a，b的值依次为________．解析：“若a＞b，则＜”是真命题，则ab＞0，因此举例只需使得“ab＞0”不成立且a＞b即可．答案：a＝1，b＝－1(答案不唯一)7．设x＞1，－1＜y＜0，将x，y，－y按从小到大的顺序排列为________．解析：∵－1＜y＜0，∴0＜－y＜1，∴y＜－y，又x＞1，∴y＜－y＜x.答案：y＜－y＜x8．已知三个不等式①ab>0；②>；③bc>ad.若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成________个正确命题．解析：①②⇒③，③①⇒②(证明略)．由②得>0，又由③得bc－ad>0，所以ab>0⇒①.所以可以组成3个正确命题．答案：39．已知a，b∈R，a＋b>0，试比较a3＋b3与ab2＋a2b的大小．解：因为a＋b>0，(a－b)2≥0，所以a3＋b3－ab2－a2b＝a3－a2b＋b3－ab2＝a2(a－b)＋b2·(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)(a－b)(a＋b)＝(a－b)2(a＋b)≥0，所以a3＋b3≥ab2＋a2b.10．已知0<a<b且a＋b＝1，试比较：(1)a2＋b2与b的大小；5
(2)2ab与的大小．解：(1)因为0<a<b且a＋b＝1，所以0<a<<b，则a2＋b2－b＝a2＋b(b－1)＝a2－ab＝a(a－b)<0，所以a2＋b2<b.(2)因为2ab－＝2a(1－a)－＝－2a2＋2a－＝－2＝－2<0，所以2ab<.[B级 综合运用]11．(多选)若<<0，则下列结论中正确的是( )A．a2<b2B．ab<b2C．a＋b<0D．|a|＋|b|>|a＋b|解析：选ABC 因为<<0，所以b<a<0，所以b2>a2，ab<b2，a＋b<0，所以A、B、C均正确，因为b<a<0，所以|a|＋|b|＝|a＋b|，故D错误．故选A、B、C.12．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x<y<z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a<b<c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )A．ax＋by＋czB．az＋by＋cxC．ay＋bz＋cxD．ay＋bx＋cz解析：选B 法一：∵x<y<z且a<b<c，∴ax＋by＋cz－(az＋by＋cx)＝a(x－z)＋c(z－x)＝(x－z)(a－c)>0，∴ax＋by＋cz>az＋by＋cx；同理，ay＋bz＋cx－(ay＋bx＋cz)＝b(z－x)＋c(x－z)＝(z－x)(b－c)<0，∴ay＋bz＋cx<ay＋bx＋cz；5
同理，az＋by＋cx－(ay＋bz＋cx)＝a(z－y)＋b(y－z)＝(z－y)(a－b)<0，∴az＋by＋cx<ay＋bz＋cx.∴最低费用为az＋by＋cx(元)．故选B.法二(特殊值法)：取x＝1，y＝2，z＝3，a＝1，b＝2，c＝3，则ax＋by＋cz＝1×1＋2×2＋3×3＝14；az＋by＋cx＝1×3＋2×2＋3×1＝10；ay＋bz＋cx＝1×2＋2×3＋3×1＝11；ay＋bx＋cz＝1×2＋2×1＋3×3＝13.故选B.13．某公司有20名技术人员，计划开发A，B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：电子器件种类每件需要人员数每件产值(万元/件)A类7.5B类6今制订计划欲使总产量最高，则A类电子器件应开发________件，最高产值为________万元．解析：设应开发A类电子器件x件，则开发B类电子器件(50－x)件．根据题意，得＋≤20，解得x≤20.由题意，得总产值y＝7.5x＋6×(50－x)＝300＋1.5x≤330，当且仅当x＝20时，y取最大值330.所以欲使总产值最高，A类电子器件应开发20件，最高产值为330万元．答案：20 33014．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，求z＝2x－3y的取值范围．解：∵z＝－(x＋y)＋(x－y)，－2≤－(x＋y)≤，5≤(x－y)≤，∴3≤－(x＋y)＋(x－y)≤8，∴z的取值范围是[3，8]．[C级 拓展探究]5
15．设x≥1，y≥1，证明x＋y＋≤＋＋xy.证明：因为x≥1，y≥1，所以xy≥1，所以x＋y＋≤＋＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.将上面不等式中的右端减左端，得[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．因为x≥1，y≥1，xy≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．5
