等式的性质与方程的解集[A级 基础巩固]1．(多选)下列属于恒等式的有( )A．(a＋b)c＝ac＋bc B．(a＋b)(a－b)＝a2－b2C．4x＝2020D．(x－1)2＝0解析：选AB A、B属于恒等式；只有当x＝505时，等式4x＝2020才成立，只有当x＝1时，等式(x－1)2＝0才成立，所以C、D不是恒等式．故选A、B.2．若多项式x2－3x＋a可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值是( )A．a＝10，b＝2B．a＝10，b＝－2C．a＝－10，b＝－2D．a＝－10，b＝2解析：选C 因为(x－5)(x－b)＝x2－(5＋b)x＋5b，所以即3．若多项式－6ab＋18abx＋24aby的一个因式是－6ab，那么另一个因式是( )A．1＋3x－4y B．－1－3x－4yC．1－3x－4yD．－1－3x＋4y解析：选C －6ab＋18abx＋24aby＝－6ab(1－3x－4y)，所以另一个因式是(1－3x－4y)．4．(a＋b)2＋8(a＋b)－20分解因式得( )A．(a＋b＋10)(a＋b－2)B．(a＋b＋5)(a＋b－4)C．(a＋b＋2)(a＋b－10)D．(a＋b＋4)(a＋b－5)解析：选A (a＋b)2＋8(a＋b)－20＝[(a＋b)－2][(a＋b)＋10]＝(a＋b－2)(a＋b＋10)．5．小明在做作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是2y－1＝y－●，怎么办呢？小明想了一想便翻看了书后的答案，此方程的解是y＝－3，很快补好了这个常数，这个常数应是( )A．1B．2C．3D．4解析：选D 设所缺的部分为x，则2y－1＝y－x，把y＝－3代入，求得x＝4.故选D.6．已知y＝1是方程2－13(m－y)＝2y的解，则关于x的方程m(x－3)－2＝m(2x－5)的解集为________．解析：因为y＝1是方程2－13(m－y)＝2y的解，所以2－13(m－1)＝2，即m＝1.5
所以方程m(x－3)－2＝m(2x－5)变为(x－3)－2＝2x－5，解得x＝0.所以方程的解集为{0}．答案：{0}7．若实数a，b满足(4a＋4b)(4a＋4b－2)－8＝0，则a＋b＝________．解析：设a＋b＝x，则原方程可化为4x(4x－2)－8＝0，整理，得(2x＋1)(x－1)＝0，解得x＝－或x＝1.则a＋b＝－或1.答案：－或18．小奇设计了一个魔术盒，当任意实数对(a，b)进入其中时，会得到一个新的实数a2－3b－5，例如把(1，－2)放入其中，就会得到12－3×(－2)－5＝2.现将实数对(m，3m)放入其中，得到实数5，则m＝________．解析：因为将实数对(m，3m)放入其中，得到实数5，所以m2－9m－5＝5，解得m＝10或－1.答案：10或－19．若式子3x2－mx－2因式分解的结果是(3x＋2)(x＋n)，试求实数m，n的值．解：∵(3x＋2)(x＋n)＝3x2＋(3n＋2)x＋2n＝3x2－mx－2，∴∴10．用因式分解法求下列方程的解集：(1)x2－10x＋9＝0；(2)2(x－3)＝3x(x－3)；(3)4(3x－2)(x＋1)＝3x＋3；(4)2(2x－3)2－3(2x－3)＝0；(5)2x2－16＝x2＋5x＋8；(6)(3x－1)2＋3(3x－1)＋2＝0.解：(1)原方程可化为(x－1)(x－9)＝0，所以x＝1或x＝9；所以该方程的解集为{1，9}．(2)原方程整理，得(x－3)(2－3x)＝0，所以x－3＝0或2－3x＝0，所以x＝3或x＝；5
所以该方程的解集为.(3)原方程可化为4(3x－2)(x＋1)－3(x＋1)＝0，所以(x＋1)(12x－11)＝0，所以x＝－1或x＝；所以该方程的解集为.(4)原方程可化为(2x－3)[2(2x－3)－3]＝0，(2x－3)(4x－9)＝0，所以x＝或x＝；所以该方程的解集为.(5)原方程可化为2x2－x2－5x－16－8＝0，x2－5x－24＝0，(x－8)(x＋3)＝0，所以x＝8或x＝－3；所以该方程的解集为{8，－3}．(6)原方程可化为[(3x－1)＋1][(3x－1)＋2]＝0，3x(3x＋1)＝0，所以x＝0或x＝－；所以该方程的解集为.[B级 综合运用]11．(多选)下列命题为真命题的是( )A．若ab＝1，则a＝B．若x2＝x，则x＝1C．若a＝b，c≠0，则ac＝bcD．若(a＋1)x＝(a2＋1)y，则x＝y解析：选AC 易知A为真命题；x2＝x，即x(x－1)＝0，解得x＝0或x＝1，故B为假命题；易知C为真命题；由(a＋1)x＝(a2＋1)y，解得y＝x，只有当a＝0或a＝1时，x＝y才成立，故D为假命题．12.如图所示，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a的正方形卡片4张，边长为b的正方形卡片1张，长、宽分别为a，b的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为( )5
A．2a＋bB．4a＋bC．a＋2bD．a＋3b解析：选A 由题意可知，9张卡片的总面积为4a2＋4ab＋b2，∵4a2＋4ab＋b2＝(2a＋b)2，∴大正方形的边长为2a＋b.故选A.13.《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何．(注：横放，竿比门宽长出四尺；竖放，竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去．)(1)示意图中，BD表示户斜，则线段CE的长为________尺，线段DF的长为________尺；(2)户斜长为________尺．解析：(1)由“横放，竿比门宽长出四尺”可得CE＝4尺，由“竖放，竿比门高长出二尺”可得DF＝2尺．(2)设户斜x尺，则题图中BD＝x，BC＝BE－CE＝x－4(x>4)，CD＝CF－DF＝x－2(x>2)．又在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，由勾股定理得：BC2＋CD2＝BD2,所以(x－4)2＋(x－2)2＝x2,整理，得x2－12x＋20＝0,因式分解，得(x－10)(x－2)＝0,计算得出x1＝10，x2＝2，因为x>4且x>2,所以x＝2舍去，x＝10.故户斜为10尺．答案：(1)4 2 (2)1014．已知方程(2020x)2－2019×2021x－1＝0的较大根为m，方程x2＋2020x－2021＝0的较小根为n.求m－n的值．解：将方程(2020x)2－2019×2021x－1＝0化为(20202x＋1)(x－1)＝0，所以x1＝－，x2＝1，所以m＝1.同理，由方程x2＋2020x－2021＝0可得(x＋2021)(x－1)＝0，所以x1＝－2021，x2＝1，5
所以n＝－2021，所以m－n＝2022.[C级 拓展探究]15．如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m>n.(以上长度单位：cm)(1)用含m，n的代数式表示图中所有裁剪线(虚线部分)的长度之和；(2)观察图形，将代数式2m2＋5mn＋2n2因式分解；(3)若每块小长方形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，试求(m＋n)2的值．解：(1)题图中所有裁剪线(虚线部分)长度之和为2(m＋2n)＋2(2m＋n)＝6m＋6n＝6(m＋n)．(2)2m2＋5mn＋2n2可以因式分解为(m＋2n)(2m＋n)．(3)依题意得，2m2＋2n2＝58，mn＝10，∴m2＋n2＝29.∵(m＋n)2＝m2＋2mn＋n2，∴(m＋n)2＝29＋20＝49.5
