一元二次不等式的解法[A级 基础巩固]1．下列四个不等式：①－x2＋x＋1≥0；②x2－2x＋>0；③x2＋6x＋10>0；④2x2－3x＋4<1.其中解集为R的是( )A．① B．②C．③D．④解析：选C ①显然不可能；②中Δ＝(－2)2－4×>0，解集不为R；③中Δ＝62－4×10<0.满足条件；④中不等式可化为2x2－3x＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能．故选C.2．不等式6x2＋x－2≤0的解集为( )A.B.C.D.解析：选A ∵6x2＋x－2＝6－2＝6－，∴原不等式化为6－≤0，∴≤，∴－≤x＋≤.解得－≤x≤，∴不等式的解集为.3．设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)<0的解集为( )A.B．{x|x>a}C.D.6
解析：选A ∵a<－1，∴a(x－a)<0⇔(x－a)·>0.又a<－1，∴>a，∴x>或x<a.4．(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0解集为{x|－2<x<3}，则( )A．a>0B．不等式ax＋c>0的解集为{x|x<6}C．a＋b＋c>0D．不等式cx2－bx＋a<0的解集为解析：选BCD 因为关于x的不等式ax2＋bx＋c>0解集为{x|－2<x<3}，所以－2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两个实根，且a<0，故A错误；所以－2＋3＝－，－2×3＝，所以b＝－a，c＝－6a，所以不等式ax＋c>0可化为ax－6a>0，因为a<0，所以x<6，故B正确；因为a＋b＋c＝a－a－6a＝－6a，又a<0，所以a＋b＋c>0，故C正确；不等式cx2－bx＋a<0可化为－6ax2＋ax＋a<0，又a<0，所以－6x2＋x＋1>0，即6x2－x－1<0，即(3x＋1)(2x－1)<0，解得－<x<，故D正确．故选B、C、D.5．在R上定义运算：＝ad－bc，若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为( )A．－B．－C.D.解析：选D 由定义知，不等式≥1等价于x2－x－(a2－a－2)≥1，∴x2－x＋1≥a2－a对任意实数x恒成立．∵x2－x＋1＝＋≥，∴a2－a≤，解得－≤a≤，则实数a的最大值为.6．现有含盐7%的食盐水200克，生产含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x克，则x的取值范围是________．解析：5%<<6%，6
解得x的取值范围是{x|100<x<400}．答案：{x|100<x<400}7．已知关于x的不等式2x2＋ax－a2＞0的解集中的一个元素为2，则实数a的取值范围为________．解析：因为关于x的不等式2x2＋ax－a2＞0的解集中的一个元素为2，所以8＋2a－a2＞0，即(a－4)(a＋2)＜0，解得－2＜a＜4.答案：(－2，4)8．某种汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)sm和汽车车速xkm/h有如下关系：s＝x＋x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于40m，那么这辆汽车刹车前的车速不低于________km/h.解析：根据题意，得x＋x2≥40.移项整理，得x2＋10x－7200≥0.显然Δ>0，x2＋10x－7200＝0有两个实数根，即x1＝80，x2＝－90，然后，根据二次函数y＝x2＋10x－7200的图像(图略)，得不等式的解集为{x|x≤－90或x≥80}．在这个实际问题中，x>0，所以这辆汽车刹车前的车速不低于80km/h.答案：809．解下列不等式：(1)2＋3x－2x2＞0；(2)x(3－x)≤x(x＋2)－1；(3)x2－2x＋3＞0.解：(1)因为2＋3x－2x2＝－2＋2＝－2＋，所以原不等式化为－2＋＞0，所以＜，所以－＜x－＜，解得－＜x＜2.所以不等式的解集为.6
(2)因为原不等式可化为2x2－x－1≥0，因为2x2－x－1＝2－1＝2－，所以原不等式可化为2－≥0，所以≥，所以x－≥或x－≤－，解得x≥1，或x≤－.所以原不等式的解集为∪[1，＋∞)．(3)因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2＞0恒成立，所以原不等式的解集是R.10．解关于x的不等式x2＋3ax－4a2＜0(a∈R)．解：由于x2＋3ax－4a2＜0可化为(x－a)·(x＋4a)＜0，且方程(x－a)(x＋4a)＝0的两个根分别是a和－4a.当a＝－4a，即a＝0时，不等式的解集为∅；当a＞－4a，即a＞0时，解不等式得－4a＜x＜a；当a＜－4a，即a＜0时，解不等式得a＜x＜－4a.综上所述，当a＝0时，不等式的解集为∅；当a＞0时，不等式的解集为{x|－4a＜x＜a}；当a＜0时，不等式的解集为{x|a＜x＜－4a}．[B级 综合运用]11．(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋3>0，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是( )A．不等式ax2＋bx＋3>0的解集可以是{x|x>3}B．不等式ax2＋bx＋3>0的解集可以是RC．不等式ax2＋bx＋3>0的解集可以是∅D．不等式ax2＋bx＋3>0的解集可以是{x|－1<x<3}解析：选BD 在A中，依题意得a＝0，且3b＋3＝0.解得b＝－1，此时不等式为－x＋3>0，解得x<3，故A错误；在B中，取a＝1，b＝2，得x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2>0，解集为R，故B正确；在C中，当x＝0时，ax2＋bx＋3＝3>0，知其解集不为∅，C错误；在D中，6
依题意得a<0，且解得符合题意，故D正确．12．关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝( )A.B.C.D.解析：选A 法一：x2－2ax－8a2＜0可化为(x＋2a)·(x－4a)＜0.∵a＞0且解集为(x1，x2)，则x1＝－2a，x2＝4a，∴x2－x1＝6a＝15，解得a＝.法二：由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，结合a＞0得a＝.13．若0<a<1，则不等式x2－3(a＋a2)x＋9a3≤0的解集为________．解析：因为0<a<1，所以0<3a2<3a，而方程x2－3(a＋a2)x＋9a3＝0的两个根分别为3a和3a2，所以不等式的解集为{x|3a2≤x≤3a}．答案：{x|3a2≤x≤3a}14．已知条件p：2x2－3x＋1≤0，条件q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解：由2x2－3x＋1≤0，得≤x≤1.所以条件p对应的集合P＝.由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，得a≤x≤a＋1，所以条件q对应的集合为Q＝{x|a≤x≤a＋1}．因为p是q的充分不必要条件．所以p⇒q，即PQ⇔或解得0≤a≤.所以实数a的取值范围为.6
[C级 拓展探究]15．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？解：(1)由题意，得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1000×(1＋0.6x)(0<x<1)，整理得y＝－60x2＋20x＋200(0<x<1)．(2)要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当即解不等式组，得0<x<，所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x的范围为.6
