指数函数及其性质的应用(习题课)[A级 基础巩固]1．若函数f(x)＝(1－2a)x在实数集R上是减函数，则实数a的取值范围是( )A. B.C.D.解析：选B 由已知，得0<1－2a<1，解得0<a<，即实数a的取值范围是.2．已知a＝，b＝20.3，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是( )A．b>c>aB．b>a>cC．a>b>cD．c>b>a解析：选A a＝＝0.30.5.∵f(x)＝0.3x在R上单调递减，∴0.30.5<0.30.2<0.30⇒a<c<1.又b＝20.3>20＝1，∴a<c<b，故选A.3．(多选)设函数f(x)＝a－|x|(a>0，且a≠1)，若f(2)＝4，则( )A．f(－2)>f(－1)B．f(－1)>f(－2)C．f(－2)>f(2)D．f(－4)>f(3)解析：选AD 由f(2)＝a－2＝4得a＝，即f(x)＝＝2|x|，故f(－2)>f(－1)，f(－2)＝f(2)，f(－4)＝f(4)>f(3)，所以A、D正确．4．(多选)若f(x)＝3x＋1，则( )A．f(x)在[－1，1]上单调递增B．y＝3x＋1与y＝＋1的图象关于y轴对称C．f(x)的图象过点(0，1)D．f(x)的值域为[1，＋∞)解析：选AB f(x)＝3x＋1在R上单调递增，则A正确；y＝3x＋1与y＝3－x＋1的图象关于y轴对称，则B正确；由f(0)＝2，得f(x)的图象过点(0，2)，则C错误；由3x>0，可得f(x)>1，则D错误．故选A、B.5．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]6
解析：选B 由f(1)＝，得a2＝，于是a＝，因此f(x)＝.令t＝|2x－4|，所以h(t)＝为减函数．因为g(x)＝|2x－4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)．故选B.6．不等式23－2x<0.53x－4的解集为________．解析：原不等式可化为23－2x<24－3x，因为函数y＝2x是R上的增函数，所以3－2x<4－3x，解得x<1，则解集为{x|x<1}．答案：{x|x<1}7．函数y＝3的单调递减区间是________．解析：设u＝，则y＝3u，因为u＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，且y＝3u在R上是增函数，所以函数y＝3的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)．答案：(－∞，0)和(0，＋∞)8．(2021·黑龙江大庆实验中学高一月考)已知函数f(x)＝bax(其中a，b为常数，a>0，且a≠1)的图象经过A(1，6)，B(2，18)两点．若不等式＋－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，则实数m的最大值为________．解析：由已知可得解得则不等式＋－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，设g(x)＝＋－m，显然函数g(x)＝＋－m在(－∞，1]上单调递减，6
∴g(x)≥g(1)＝＋－m＝－m，故－m≥0，即m≤，∴实数m的最大值为.答案：9．已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点(2，4)．(1)求a的值；(2)若a2x＋1<a3x－1，求x的取值范围．解：(1)∵f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点(2，4)，∴a2＝4，又a>0，且a≠1，∴a＝2.(2)由(1)得a＝2，由a2x＋1<a3x－1，代入a＝2，可得22x＋1<23x－1，由指数函数的单调性可知2x＋1<3x－1，解得x>2，即x的取值范围是(2，＋∞)．10．设0≤x≤2，y＝4x－－3·2x＋5，试求该函数的最值．解：令t＝2x，0≤x≤2，∴1≤t≤4.则y＝22x－1－3·2x＋5＝t2－3t＋5.配方得y＝(t－3)2＋，t∈[1，4]，∴y＝(t－3)2＋，t∈[1，3]上是减函数；t∈[3，4]上是增函数，∴当t＝3时，ymin＝；当t＝1时，ymax＝.故函数的最大值为，最小值为.[B级 综合运用]11．若不等式2x2＋1≤的解集是函数y＝2x的定义域，则函数y＝2x的值域是( )A.B.6
C.D．[2，＋∞)解析：选B 由2x2＋1≤得2x2＋1≤2－2x＋4，即x2＋1≤－2x＋4，解得－3≤x≤1，所以函数y＝2x的定义域为[－3，1]．由于函数y＝2x在R上单调递增，故当x＝－3时取得最小值，当x＝1时取得最大值2，所以函数的值域为.故选B.12．已知a>0，设函数f(x)＝(x∈[－a，a])的最大值为M，最小值为N，那么M＋N＝( )A．2025B．2022C．2020D．2019解析：选B f(x)＝＝2019－，∴f(－x)＝2019－＝2019－.因此f(x)＋f(－x)＝4038－2016＝4038－2016＝2022.又f(x)在[－a，a]上是增函数，∴M＋N＝f(a)＋f(－a)＝2022，故选B.13．函数y＝的单调递增区间为________；奇偶性为________(填“奇函数”“偶函数”或“非奇非偶函数”)．解析：设u＝－|x|＋1，则y＝.易知u＝－|x|＋1的单调递减区间为[0，＋∞)，y＝是减函数，∴y＝的单调递增区间为[0，＋∞)．∵f(－x)＝＝＝f(x)，∴f(x)是偶函数．答案：[0，＋∞) 偶函数14．已知定义在R上的偶函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝2x＋，f(1)＝.6
(1)求实数a的值；(2)用定义法证明f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(3)求函数f(x)在[－1，2]上的值域．解：(1)由题意得f(1)＝2＋＝，∴a＝1.(2)证明：由(1)知a＝1，∴f(x)＝2x＋，任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝(2x1－2x2)＋＝(2x1－2x2)·.∵0<x1<x2，∴1<2x1<2x2，2x1＋x2>1，∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(3)易得f(0)＝2，f(2)＝，f(－1)＝，f(x)在[－1，0]上为减函数，在[0，2]上为增函数，∴f(x)的值域为.[C级 拓展探究]15．已知函数f(x)＝2－x.(1)求f(0)－2××2－2的值；(2)若函数h(x)＝f(x)＋g(x)，且h(x)，g(x)满足下列条件：①h(x)为偶函数；②h(x)≥2且∃x∈R使得h(x)＝2；③g(x)>0且g(x)恒过(0，1)点．写出一个符合题意的函数g(x)，并说明理由．解：(1)由题意知：f(0)－2××2－2＝20－2×2×2－2＝1－2＝1－20＝0.(2)满足题意的函数g(x)＝2x.理由如下：①因为h(x)＝2x＋2－x，所以h(－x)＝2－x＋2－(－x)＝2－x＋2x＝h(x)，所以h(x)＝2x＋2－x为偶函数．6
②h(x)＝2x＋2－x≥2＝2＝2＝2，当且仅当2x＝2－x，即x＝0时等号成立，③g(x)＝2x>0，g(x)恒过(0，1)点．6
