古典概型[A级 基础巩固]1．(多选)下列概率模型是古典概型的为( )A．从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小B．同时掷两枚质地均匀的骰子，点数和为6的概率C．近三天中有一天降雨的概率D．10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率解析：选ABD 因为A、B、D符合古典概型的特征，所以A、B、D是古典概型；在C中，每天是否降雨受多方面因素影响，不具有等可能性，不是古典概型．故选A、B、D.2．两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为( )A. B．C.D．解析：选B 两名同学分3本不同的书，记这三本书分别为a，b，c，该试验样本空间Ω＝{(0，3)，(a，2)，(b，2)，(c，2)，(2，a)，(2，b)，(2，c)，(3，0)}共8个样本点．其中一人没有分到书，另一人分到3本书的样本点有2个，∴一人没有分到书，另一人分得3本书的概率P＝＝.故选B.3．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )A.B．C.D．解析：选B 设3只测量过某项指标的兔子为A，B，C，另外2只兔子为a，b，从这5只兔子中随机取出3只，则样本空间Ω＝{(A，B，C)，(A，B，a)，(A，B，b)，(A，C，a)，(A，C，b)，(A，a，b)，(B，C，a)，(B，C，b)，(B，a，b)，(C，a，b)}，共包含10个样本点，其中“恰有2只测量过该指标”包含的样本点共有6个，分别为(A，B，a)，(A，B，b)，(A，C，a)，(A，C，b)，(B，C，a)，(B，C，b)，因此所求的概率为＝，故选B.4．设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为( )7
A.B．C.D．解析：选A 根据题意作出图形，如图所示，在O，A，B，C，D中任取3点，其样本空间Ω＝{(O，A，B)，(O，A，C)，(O，A，D)，(O，B，C)，(O，B，D)，(O，C，D)，(A，B，C)，(A，B，D)，(A，C，D)，(B，C，D)}，共包含10个样本点，记事件E为“取到的3点共线”，则事件E包含的样本点为(O，A，C)，(O，B，D)，共2个，所以P(E)＝＝.故选A.5．在国庆阅兵中，某兵种A，B，C三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B先于A，C通过的概率为( )A.B.C.D．解析：选B 用(A，B，C)表示A，B，C通过主席台的次序，则所有可能的次序有(A，B，C)，(A，C，B)，(B，A，C)，(B，C，A)，(C，A，B)，(C，B，A)，共6种，其中B先于A，C通过的有(B，C，A)和(B，A，C)，共2种，故所求概率为＝.6．从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．解析：此试验的样本空间Ω＝{(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)}，共有4个样本点，设事件A＝“可构成三角形”，则A＝{(2，3，4)，(2，4，5)，(3，4，5)}，共有3个样本点，故P(A)＝＝.答案：7．从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是女同学的概率等于________．解析：设3名男同学分别为a1，a2，a3，3名女同学分别为b1，b2，b3，则试验的样本空间Ω＝{a1a2，a1a3，a2a3，a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，a3b1，a3b2，a3b3，b1b2，b1b3，b2b3}，共有15个样本点．设事件A＝“都是女同学”，则A＝{b1b2，b1b3，b2b3}，所以n(A)＝3.故P(A)＝＝＝.7
答案：8．从1，2，3，4，5这5个数字中不放回地任取两数，则两数都是奇数的概率是________，若有放回地任取两数，则两数都是偶数的概率是________．解析：从5个数字中不放回地任取两数，样本点有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10个．因为都为奇数的样本点有(1，3)，(1，5)，(3，5)，共3个，所以所求概率为.从5个数字中有放回的任取两数，样本点共有25个，都为偶数的样本点有(2，4)，(4，2)，(2，2)，(4，4)，共4个，故概率为.答案： 9．某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层随机抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析：①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率．解：(1)由分层随机抽样的定义知，从小学抽取的学校数目为6×＝3(所)，从中学抽取的学校数目为6×＝2(所)，从大学抽取的学校数目为6×＝1(所)．(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3，2所中学分别记为A4，A5，1所大学记为A6，则抽取2所学校的样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)}，共15个样本点．②“抽取的2所学校均为小学”记为事件B，则B＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)}，共3个样本点，所以P(B)＝＝.10．某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天7
100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日温差x/℃101113128发芽数y/颗2325302616(1)求这5天发芽数的中位数；(2)求这5天的平均发芽率；(3)从3月1日至3月5日中任选2天，记前面一天发芽的种子数为m，后面一天发芽的种子数为n，用(m，n)的形式列出所有样本点，并求满足“”的概率．解：(1)因为16＜23＜25＜26＜30，所以这5天发芽数的中位数是25.(2)这5天的平均发芽率为×100%＝24%.(3)用(x，y)表示所求试验的样本点，则有(23，25)，(23，30)，(23，26)，(23，16)，(25，30)，(25，26)，(25，16)，(30，26)，(30，16)，(26，16)，共10个样本点．记“”为事件A，则A＝{(25，30)，(25，26)，(30，26)}，共有3个样本点．所以P(A)＝，即事件“”的概率为.[B级 综合运用]11．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( )A．B．C．D．解析：选D 设两位男同学分别为A，B，两位女同学分别为a，b，则用“树状图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示．7
由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“√”的情况)共有12种，故所求概率为＝.故选D.12．(多选)设集合M＝{2，3，4}，N＝{1，2，3，4}，分别从集合M和N中随机取一个元素m与n.记“点P(m，n)落在直线x＋y＝k上”为事件Ak(3≤k≤8，k∈N*)，若事件Ak的概率最大，则k的取值可能是( )A．4B．5C．6D．7解析：选BC 由题意，该试验的样本空间Ω＝{(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}，共12个样本点，则事件A3：点P(m，n)落在直线x＋y＝3上，包含其中(2，1)，共1个样本点，所以P(A3)＝；事件A4：点P(m，n)落在直线x＋y＝4上，包含其中(2，2)，(3，1)，共2个样本点，所以P(A4)＝；事件A5：点P(m，n)落在直线x＋y＝5上，包含其中(2，3)，(3，2)，(4，1)，共3个样本点，所以P(A5)＝；事件A6：点P(m，n)落在直线x＋y＝6上，包含其中(2，4)，(3，3)，(4，2)，共3个样本点，所以P(A6)＝；事件A7：点P(m，n)落在直线x＋y＝7上，包含其中(3，4)，(4，3)，共2个样本点，所以P(A7)＝；事件A8：点P(m，n)落在直线x＋y＝8上，包含其中(4，4)，共1个样本点，所以P(A8)＝.综上可得，当k＝5或6时，P(Ak)max＝P(A5)＝P(A6)＝.13．一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213，134等)，若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是________．解析：由1，2，3组成的三位自然数为123，132，213，231，312，321，共6个．同理，由1，2，4组成的三位自然数共6个；由1，3，4组成的三位自然数也是6个；由2，3，4组成的三位自然数也是6个．所以共有6＋6＋6＋6＝24(个)．由1，2，3组成的三位自然数中，共6个“有缘数”．由1，3，4组成的三位自然数中，共6个“有缘数”．7
所以三位数为“有缘数”的概率P＝＝.答案：14．小李在做一份调查问卷，共有5道题，其中有两种题型，一种是选择题，共3道，另一种是填空题，共2道．(1)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，求所选的题不是同一种题型的概率；(2)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，求所选的题不是同一种题型的概率．解：将3道选择题依次编号为1，2，3，2道填空题依次编号为4，5.(1)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，则样本空间Ω1＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)}，共20个样本点，而且这些样本点发生的可能性是相等的．设事件A＝“所选的题不是同一种题型”，则事件A＝{(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)}，共12个样本点，所以P(A)＝＝0.6.(2)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，则样本空间Ω2＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)}，共25个样本点，而且这些样本点发生的可能性是相等的．设事件B＝“所选的题不是同一种题型”，由(1)知所选题不是同一种题型的样本点共12个，所以P(B)＝＝0.48.[C级 拓展探究]15．(2019·天津高考)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．7
(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访. 员工项目 ABCDEF子女教育○○×○×○继续教育××○×○○大病医疗×××○××住房贷款利息○○××○○住房租金××○×××赡养老人○○×××○①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．解：(1)由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人．(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种．②由表格知，符合题意的所有结果为{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种．所以，事件M发生的概率P(M)＝.7
