古典概型必备知识基础练 1.一个袋中装有大小相同的5个球,现将这5个球分别编号为1,2,3,4,5,从袋中取出两个球,每次只取出一个球,并且取出的球不放回,则取出的两个球上编号之积为奇数的概率为( )A.B.C.D.答案B解析设“取出的两个球上编号之积为奇数”为事件A,则Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),…,(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)},共包含20个样本点,其中事件A={(1,3),(1,5),(3,1),(3,5),(5,1),(5,3)},包含6个样本点,所以P(A)=.故选B.2.从某超市抽取13袋袋装食用盐,对其质量(单位:g)进行统计,得到如图所示的茎叶图.若从这13袋食用盐中随机选取1袋,则该袋食用盐的质量在[499,501]内的概率为( )A.B.C.D.答案B解析这13个数据落在[499,501]内的个数为6,故所求概率为.故选B.3.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,其中a,b∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,就称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为( )A.B.C.D.答案D解析由题意知本题是一个古典概型.7
样本空间共包含36个样本点.记“甲、乙心有灵犀”为事件A,A={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6)},共16个样本点.所以他们“心有灵犀”的概率为P(A)=.故选D.4.一次掷两枚骰子,得到的点数为m和n,则关于x的方程x2+(m+n)x+4=0有实数根的概率是 . 答案解析由题意知,样本空间共包含36个样本点.若方程有实根,则Δ=(m+n)2-16≥0,即m+n≥4,其对立事件为m+n<4记为A,则A={(1,1),(1,2),(2,1)},包含3个样本点,故所求概率为P=1-.5.连续掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.“恰好3枚正面都朝上”的概率是 ;“至少有2枚反面朝上”的概率是 . 答案解析样本空间Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)},共8个样本点,“恰好3枚正面都朝上”包含1个样本点,其概率P1=,“至少有2枚反面朝上”包含4个样本点,其概率P2=.6.(2020山西长治高一期末)口袋中有质地、大小完全相同的5个球,编号分别为1,2,3,4,5,甲、乙两人玩一种游戏:甲先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号,如果两个编号的和为偶数算甲赢,否则算乙赢.(1)求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率;(2)这种游戏规则公平吗?试说明理由.解(1)设“甲胜且编号的和为6”为事件A.甲编号为x,乙编号为y,(x,y)表示一个基本事件,则两人摸球结果的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),…,(5,4),(5,5)},共25个样本7
点,A={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)},共5个样本点.所以P(A)=.所以甲胜且编号的和为6的事件发生的概率为.(2)这种游戏不公平.设“甲胜”为事件B,“乙胜”为事件C.记D为“两个编号的和为偶数”.D={(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5)},共包含13个样本点.所以甲胜的概率为P(B)=P(D)=,乙胜的概率为P(C)=1-,因为P(B)≠P(C),所以这种游戏规则不公平.关键能力提升练7.一个三位自然数,百位、十位、个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当a>b,b<c时称为“凹数”(如213,312等),若a,b,c∈{1,2,3,4},且a,b,c互不相同,则这个三位数为“凹数”的概率是( )A.B.C.D.答案C解析组成各个数位上的数字不重复的三位自然数如下图所示:开始由图可知样本空间中共含有24个样本点,而满足三位数是“凹数”的有214,213,312,314,324,412,413,423,共8个样本点,所以这个三位数为“凹数”的概率为.8.(多选题)下列关于各事件发生的概率判断正确的是( )A.从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表,甲被选中的概率为B.四条线段的长度分别是1,3,5,7,从这四条线段中任取三条,则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是C.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物,假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径,则它能获得食物的概率为7
D.已知集合A={2,3,4,5,6,7},B={2,3,6,9},在集合A∪B中任取一个元素,则该元素是集合A∩B中的元素的概率为答案ABC解析对于A,从甲、乙、丙三人中任选两人的样本空间Ω={(甲,乙),(甲,丙),(乙,丙)},共3个样本点,记A:甲被选中,则A={(甲,乙),(甲,丙)},共2个样本点,故甲被选中的概率为P=,故A正确;对于B,从四条长度各异的线段中任取一条,每条被取出的可能性均相等,所以该试验属于古典概型.又样本空间Ω={(1,3,5),(1,3,7),(1,5,7),(3,5,7)},共包含4个样本点,而能构成三角形的基本事件为{(3,5,7)},包含1个样本点,所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是P=,故B正确;对于C,该树枝的树梢有6处,有2处能找到食物,则蚂蚁能获得食物的概率为,故C正确;对于D,因为A∪B={2,3,4,5,6,7,9},A∩B={2,3,6},所以在集合A∪B中任取一个元素,则该元素是集合A∩B中元素的概率为,故D错误.9.将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次,若第一次朝上一面的点数为a,第二次朝上一面的点数为b,则函数y=ax2-2bx+1在区间-∞,上为减函数的概率是( )A.B.C.D.答案D解析由题意得∵第一次朝上一面的点数为a,第二次朝上一面的点数为b,∴a取1,2时,b可取1,2,3,4,5,6;a取3,4时,b可取2,3,4,5,6;a取5,6时,b可取3,4,5,6,共30种情况.∵将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次,共有36种等可能发生的结果,∴所求概率为.10.“沉鱼、落雁、闭月、羞花”是由精彩故事组成的历史典故.“沉鱼”讲的是西施浣纱的故事;“落雁”指的就是昭君出塞的故事;“闭月”是述说貂蝉拜月的故事;“羞花”谈的是杨贵妃醉酒观花时的故事.她们分别是中国古代的四大美女.某艺术团要以四大美女为主题排演一部舞蹈剧,7
已知乙扮演杨贵妃,甲、丙、丁三人抽签决定扮演的对象,则甲不扮演貂蝉且丙扮演昭君的概率为 . 答案解析由题意可知,所有可能的情况为(甲—西施,丙—昭君,丁—貂蝉),(甲—西施,丙—貂蝉,丁—昭君),(甲—昭君,丙—西施,丁—貂蝉),(甲—昭君,丙—貂蝉,丁—西施),(甲—貂蝉,丙—昭君,丁—西施),(甲—貂蝉,丙—西施,丁—昭君),共6种,其中满足条件的就1种,故所求事件的概率为.11.已知k∈{-3,-1,1},b∈{-4,-2,2,6},则直线y=kx+b经过第三象限的概率为 . 答案解析(k,b)所有的可能结果组成的样本空间Ω={(-3,-4),(-3,-2),(-3,2),(-3,6),(-1,-4),(-1,-2),(-1,2),(-1,6),(1,-4),(1,-2),(1,2),(1,6)},共包含12个样本点.记A:直线不经过第三象限,则当且仅当时符合条件,则A={(-3,2),(-3,6),(-1,2),(-1,6)},A包含4个样本点.所以直线y=kx+b经过第三象限的概率为1-P(A)=1-.12.一个袋中装有6个大小形状完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4,5,6.(1)从袋中随机抽取两个球,求取出的球的编号之和为6的概率;(2)先后有放回地随机抽取两个球,两次取的球的编号分别记为a和b,求a+b>5的概率.解(1)样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)},共15个样本点.记A:取出球的编号之和为6,则A={(1,5),(2,4)},共2个样本点,故所求概率P(A)=.(2)先后有放回地随机抽取两个球的样本空间共包含36个样本点,记B为“两次取的球的编号之和大于5”,则B={(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共包含26个样本点,故所求概率P(B)=.7
13.某市为了解全民健身情况,随机从某小区居民中抽取了40人,将他们的年龄分成7段:[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80],得到如图所示的频率分布直方图.(1)试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值;(2)若从样本中年龄在[50,70)的居民中任取2人赠送健身卡,求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率.解(1)平均数的估计值=15×0.15+25×0.2+35×0.3+45×0.15+55×0.1+(65+75)×0.05=37.前三组的频率之和为0.15+0.2+0.3=0.65,故中位数落在第3组,设中位数的估计值为x,则(x-30)×0.03+0.15+0.2=0.5,解得x=35,即中位数的估计值为35.(2)样本中,年龄在[50,70)的共有40×0.15=6(人),其中年龄在[50,60)的有4人,设为a,b,c,d,年龄在[60,70)的有2人,设为x,y.则从中任选2人的样本空间Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(a,x),(a,y),(b,c),(b,d),(b,x),(b,y),(c,d),(c,x),(c,y),(d,x),(d,y),(x,y)},共包含15个样本点.记A为“至少有1人年龄不低于60岁”,则A={(a,x),(a,y),(b,x),(b,y),(c,x),(c,y),(d,x),(d,y),(x,y)},共包含9个样本点.故所求概率P(A)=.学科素养创新练14.(2020北京高二期末)某地区高考实行新方案,规定:语文、数学和英语是考生的必考科目,考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和思想政治六个科目中选出三个科目作为选考科目.若一名学生从这六个科目中选出了三个科目作为选考科目,则称该学生的选考方案确定;否则,称该学生选7
考方案待确定.某学校为了了解高一年级200名学生选考科目的意向,随机选取20名学生进行了一次调查,统计选考科目人数如下表:性别选考方案确定情况物理化学生物历史地理思想政治男生选考方案确定的有5人552120选考方案待确定的有7人643242女生选考方案确定的有6人352332选考方案待确定的有2人121011(1)在选考方案确定的男生中,同时选考物理、化学、生物的人数是多少?(2)从选考方案确定的男生中任选2名,试求出这2名学生选考科目完全相同的概率.解(1)选考方案确定的男生中,同时选考物理、化学和生物的人数是2.(2)由数据可知,已确定选考科目的男生共5人.其中有2人选择“物理、化学和生物”,记为a1,a2;有1人选择“物理、化学和历史”,记为b;有2人选择“物理、化学和地理”,记为c1,c2.从已确定选考科目的男生中任选2人,样本空间Ω={(a1,a2),(a1,b),(a1,c1),(a1,c2),(a2,b),(a2,c1),(a2,c2),(b,c1),(b,c2),(c1,c2)},共包含10个样本点.记A:这2名学生选考科目完全相同,则A={(a1,a2),(c1,c2)},共2个样本点.故P(A)=.7
