古典概型 (20分钟 35分)1.下列试验中，是古典概型的为( )A.种下一粒花生，观察它是否发芽B.向正方形ABCD内，任意投掷一点P，观察点P是否与正方形的中心O重合C.从1，2，3，4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率D.在区间内任取一点，求此点小于2的概率【解析】选C.对于A，发芽与不发芽的概率一般不相等，不满足等可能性；对于B，正方形内点的个数有无限多个，不满足有限性；对于C，满足有限性和等可能性，是古典概型；对于D，区间内的点有无限多个，不满足有限性.2.一个家庭中有两个小孩，这两个小孩都为女孩的概率为( )A.B.C.D.【解析】选C.两个小孩共有四种情况：(男，女)，(女，男)，(女，女)，(男，男)，基本事件总数为4，两个小孩都为女孩的概率为.3.四条线段的长度分别是1，3，5，7，从这四条线段中任取三条，则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是( )A.B.C.D.【解析】选A.从四条长度各异的线段中任取一条，每条被取出的可能性均相等，所以该问题属于古典概型.又所有基本事件包括(1，3，5)，(1，3，7)，(1，5，7)，(3，5，7)四种，而能构成三角形的基本事件只有(3，5，7)一种，所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是P=.4.设a是抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x2+ax+2=0有两个不相等的实根的概率为( )A.B.C.D.【解析】选A.基本事件总数为6，若方程有两个不相等的实根，则a2-8>0，满足上述条件的a为3，4，5，6，故概率为=.5.从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是7
______. 【解析】从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，共有(1，2)，(1，3)，(1，6)，(2，3)，(2，6)，(3，6)，共6种结果，所取两个数积为6的有(1，6)，(2，3)，共2种结果，故概率为.答案：6.一个口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球.(1)共有多少个基本事件？(2)摸出的2个球都是白球的概率是多少？【解析】(1)分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，从中摸出2个球，有如下基本事件(摸到1，2号球用(1，2)表示)：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5).因此，共有10个基本事件.(2)上述10个基本事件发生的可能性相同，且只有3个基本事件是摸到两个白球(记为事件A)，即(1，2)，(1，3)，(2，3)，故P(A)=.故摸出2个球都是白球的概率为. (30分钟 60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则( )A.p1<p2<p3B.p2<p1<p3C.p1<p3<p2D.p3<p1<p2【解析】选C.列表得：(1，6)(2，6)(3，6)(4，6)(5，6)(6，6)(1，5)(2，5)(3，5)(4，5)(5，5)(6，5)(1，4)(2，4)(3，4)(4，4)(5，4)(6，4)7
(1，3)(2，3)(3，3)(4，3)(5，3)(6，3)(1，2)(2，2)(3，2)(4，2)(5，2)(6，2)(1，1)(2，1)(3，1)(4，1)(5，1)(6，1)所以一共有36种等可能的结果，两个骰子点数之和不超过5的有10种情况，点数之和大于5的有26种情况，点数之和为偶数的有18种情况，所以向上的点数之和不超过5的概率p1==，点数之和大于5的概率p2==，点数之和为偶数的概率记为p3==.2.甲、乙两枚质地均匀的骰子先后各抛一次，a，b分别表示抛掷甲、乙两枚骰子所出现的点数，当点P(a，b)落在直线x+y=m(m为常数)上的概率最大时，则m的值为( )A.6B.5C.7D.8【解析】选C.甲、乙两枚骰子先后各抛一次，a，b分别表示抛掷甲、乙两枚骰子所出现的点数，基本事件总数为n=6×6=36，当点P(a，b)落在直线x+y=m(m为常数)上，所以易求得m=2时，点P(a，b)落在直线x+y=m(m为常数)上的概率为，m=3时，概率为，m=4时，概率为，m=5时，概率为，m=6时，概率为，m=7时，概率为，m=8时，概率为，m=9时，概率为，m=10时，概率为，m=11时，概率为，m=12时，概率为.所以当点P(a，b)落在直线x+y=m(m为常数)上的概率最大时，m的值为7.3.有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A.B.C.D.7
【解析】选C.选取两支彩笔的方法有10种，含有红色彩笔的选法有4种，由古典概型的概率公式知，满足题意的概率P==.4.若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m，n作为点P的横、纵坐标，则点P落在圆x2+y2=9内的概率为( )A.B.C.D.【解析】选D.掷骰子共有6×6=36(种)可能的情况，而落在x2+y2=9内的情况有：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，共4种，故所求概率P==.5.一次掷两枚骰子，得到的点数为m和n，则关于x的方程x2+(m+n)x+4=0有实数根的概率是( )A.B.C.D.【解析】选A.基本事件共有36个.因为方程有实根，所以Δ=(m+n)2-16≥0.所以m+n≥4，其对立事件是m+n<4，其中有：(1，1)，(1，2)，(2，1)，共3个基本事件.所以所求概率为1-=.二、填空题(每小题5分，共15分)6.从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率为______. 【解析】从2，3，8，9中任取2个不同的数字，分别记为(a，b)，则有(2，3)，(3，2)，(2，8)，(8，2)，(2，9)，(9，2)，(3，8)，(8，3)，(3，9)，(9，3)，(8，9)，(9，8)，共有12种情况，其中符合logab为整数的有log39和log28两种情况，所以P==.答案：7.将一枚质地均匀的一元硬币抛3次，恰好出现一次正面的概率是______. 【解析】试验共有8个结果：(正，正，正)，(反，正，正)，(正，反，正)，(正，正，反)，(反，反，正)，(反，正，反)，(正，反，反)，(反，反，反)，其中恰好出现一次正面的结果有3个，故所求的概率是.答案：8.在1，2，3，4四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是______. 7
【解析】用列举法知，可重复地选取两个数共有16种可能，其中一个数是另一个数的2倍的有1，2；2，1；2，4；4，2共4种，故所求的概率为=.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9.做投掷2颗骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第2颗骰子出现的点数，写出：(1)试验的基本事件；(2)事件“出现点数之和大于8”；(3)事件“出现点数相等”；(4)事件“出现点数之和等于7”.【解析】(1)这个试验的基本事件共有36个，列举如下：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6).(2)“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6).(3)“出现点数相等”包含以下6个基本事件：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6).(4)“出现点数之和等于7”包含以下6个基本事件：(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1).10.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；7
②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.【解析】(1)用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S={(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应.因为S中元素的个数是16.所以基本事件总数n=16.记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的基本事件共5个，即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)，所以P(A)=，即小亮获得玩具的概率为.(2)记“xy≥8”为事件B，“3<xy<8”为事件C.则事件B包含的基本事件共6个.即(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4).所以P(B)==.事件C包含的基本事件共5个，即(1，4)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，1).所以P(C)=.因为>，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.1.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( )A.B.C.D.【解析】选D.个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数中必有一个奇数一个偶数，所以可以分两类：(1)当个位为奇数时，有5×4=20(个)符合条件的两位数.(2)当个位为偶数时，有5×5=25(个)符合条件的两位数.因此共有20+25=45(个)符合条件的两位数，其中个位数为0的两位数有5个，所以所求概率为P==.7
2.某观赏鱼池塘中养殖大量的红鲫鱼与金鱼，为了估计池中两种鱼数量情况，养殖人员从池中捕出红鲫鱼和金鱼各1000条，并给每条鱼作上不影响其存活的记号，然后放回池内，经过一段时间后，再从池中随机捕出1000条鱼，分别记录下其中有记号的鱼数目，再放回池中，这样的记录作了10次，将记录数据制成如图所示的茎叶图.(1)根据茎叶图分别计算有记号的两种鱼的平均数，并估计池塘中两种鱼的数量.(2)随机从池塘中逐条有放回地捕出3条鱼，求恰好是1条金鱼2条红鲫鱼的概率.【解析】(1)由茎叶图可求得有记号的红鲫鱼数目的平均数为20(条)；有记号的金鱼数目的平均数为20(条).由于有记号的两种鱼数目的平均数均为20(条)，故可认为池中两种鱼的数目相同，设池中两种鱼的总数目为x条，则有=，解得x=50000，因此可估计池中的红鲫鱼与金鱼的数量均为25000条.(2)由于是用随机逐条有放回地捕出3条鱼，每一条鱼被捕到的概率相同，用x表示捕到的是红鲫鱼，y表示捕到的是金鱼，基本事件总数有8种(x，x，x)，(x，x，y)，(x，y，x)，(y，x，x)，(x，y，y)，(y，x，y)，(y，y，x)，(y，y，y)，恰好是1条金鱼，2条红鲫鱼的基本事件有3个，故所求概率为P=.7
