古典概型基础过关练题组一 古典概型的特征1.下列属于古典概型的是( )A.近三天中有一天降雨B.在平面直角坐标系内,从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个点C.某射击手射击一次,可能命中0环、1环、2环、…、10环D.四位同学用抽签的方法选一人去参加一个座谈会2.(2019黑龙江牡丹江一中高二期末)下列关于古典概型的说法中正确的是( )①试验中所有可能出现的样本点只有有限个;②每个事件出现的可能性相等;③每个样本点出现的可能性相等;④若样本点总数为n,随机事件A包含其中的k个样本点,则P(A)=kn.A.②④B.③④C.①④D.①③④题组二 古典概型概率公式的应用3.(2020宁夏银川六盘山高级中学高三二模(文))2020年春节突如其来的新型冠状病毒肺炎在湖北暴发,一方有难八方支援,全国各地的白衣天使走上战场的第一线,某医院抽调甲、乙、丙三名医生,抽调A,B,C三名护士支援武汉第一医院与第二医院,参加武汉疫情阻击战.其中选一名护士与一名医生去第一医院,其他人都在第二医院工作,则医生甲和护士A被选为去第一医院工作的概率为( )A.112B.16C.15D.194.有5根细木棍,长度(单位:cm)分别为1,3,5,7,9,从中任取3根,能搭成三角形的概率为( )A.310B.25C.15D.3205.(2020湖北荆州沙市中学期末)党的十八大提出,倡导富强、民主、文明、和谐、自由、平等、公正、法治、爱国、敬业、诚信、友善的社会主义核心价值观.现将这十二个词依次写10
在六张规格相同的卡片的正反面(无区分)(如“富强、民主”写在同一张卡片的两面),从中任意抽取1张卡片,则写有“爱国”“诚信”两词中的一个的概率是( )A.13B.16C.56D.236.若书架上放的数学书、物理书、化学书分别有5本,3本,2本,则随机抽出一本是物理书的概率为 . 7.在很多游戏中都要掷骰子,利用掷出点数的大小决定谁优先.某次下棋规定:谁掷出骰子的点数大谁先走棋,若甲先掷然后乙再掷,则甲先走棋的概率为 . 8.一个盒子里装有完全相同的十个小球,分别标上1,2,3,…,10这10个数字,现随机地抽取两个小球,如果:(1)小球是不放回的;(2)小球是有放回的.分别求两个小球上的数字为相邻整数的概率.题组三 古典概型与其他知识的结合9.(2020甘肃白银会宁第二中学期末)若从集合A={-2,1,2}中随机取一个数a,从集合10
B={-1,1,3}中随机取一个数b,则直线ax-y+b=0一定经过第四象限的概率为( )A.29B.13C.49D.5910.将一个骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别记为b,c,求方程x2+bx+c=0有实根的概率.能力提升练一、单项选择题1.(2020湖北荆州高一期末,疑难1,★★☆)同时抛掷两个骰子,则向上的点数之和是6的概率是( )A.19B.16C.536D.5122.(2020宁夏石嘴山第一中学高一下期末,★★☆)为了治疗某种疾病,研制了一种新药.为确定该药的疗效,生物实验室用6只小动物进行实验,其中有3只注射了该新药,若从这6只小动物中随机取出2只检测,则恰有1只注射了该新药的概率为( )A.23B.35C.25D.153.(2020湖南长沙长郡中学高一期末,★★★)数学与文学有许多奇妙的联系,如诗中有回文诗:“垂帘画阁画帘垂,谁系怀思怀系谁?”既可以顺读也可以逆读,数学中有回文数,如343、12521等,两位数的回文数有11、22、33、…、99,共9个,则三位数的回文数中为偶数的概率是( )A.19B.29C.39D.4910
二、多项选择题4.(2019河南洛阳高二期中,★★☆)在一个古典概型中,若两个不同的随机事件A、B发生的概率相等,则称A和B是“等概率事件”,如:随机抛掷一个骰子一次,事件“点数为奇数”和“点数为偶数”是“等概率事件”.关于“等概率事件”,以下判断正确的是( )A.在同一个古典概型中,所有的基本事件之间都是“等概率事件”B.若一个古典概型的事件总数大于2,则在这个古典概型中除基本事件外没有其他“等概率事件”C.因为所有必然事件的概率都是1,所以任意两个必然事件都是“等概率事件”D.同时抛掷三枚硬币一次,则事件“仅有一个正面”和“仅有两个正面”是“等概率事件”5.(疑难1,2,★★☆)下列关于各事件发生的概率判断正确的是( )A.从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表,甲被选中的概率为23B.四条线段的长度分别是1,3,5,7,从这四条线段中任取三条,则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是14C.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物,假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径,则它能获得食物的概率为13D.已知集合A={2,3,4,5,6,7},B={2,3,6,9},在集合A∪B中任取一个元素,则该元素是集合A∩B中的元素的概率为35三、填空题6.(★★☆)在平面直角坐标系中,从五个点A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,2),E(2,2)中任取三个,两两相连能构成三角形的概率是 (结果用分数表示). 7.(疑难1,★★☆)现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9.若从中10
一次抽取两根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3m的概率为 . 四、解答题8.(2020北京东城高一下期末,★★☆)某医院首批援鄂人员中有2名医生,3名护士和1名管理人员.采用抽签的方式,从这六名援鄂人员中随机选取两人在总结表彰大会上发言.(1)写出发言人员所有可能的结果构成的样本空间;(2)求选中1名医生和1名护士发言的概率;(3)求至少选中1名护士发言的概率.9.(★★☆)某商场举行购物抽奖促销活动,规定每位顾客从装有编号为0,1,2,3四个相同小球的抽奖箱中,每次取出一球记下编号后放回,连续取两次.若取出的两个小球号码之和等于6,则中一等奖;若等于5,则中二等奖,若等于4或3,则中三等奖.(1)求中三等奖的概率;(2)求中奖的概率.答案全解全析基础过关练1.D A中,每天是否降雨受多方面因素影响,不具有等可能性,不是古典概型;B中,横坐标和纵坐标都为整数的所有点有无限个,不具有有限性,不是古典概型;C中,命中0环、1环、2环、…、10环的概率都不一样,不是古典概型;D中,符合古典概型的两个特征.故选D.2.D ②中所说的事件不一定是样本点,所以②不正确;根据古典概型的特征及计算公式可知10
①③④正确.故选D.易错警示 下列三类试验都不是古典概型:(1)基本事件个数有限,但非等可能.(2)基本事件个数无限,但等可能.(3)基本事件个数无限,也不等可能.3.D 根据题意,选一名护士与一名医生去第一医院,有9种等可能的情况,如下:甲A,甲B,甲C,乙A,乙B,乙C,丙A,丙B,丙C.而医生甲和护士A被选为去第一医院工作有1种情况,∴医生甲和护士A被选为去第一医院工作的概率P=19.故选D.4.A 根据题意,从5根细木棍中任取3根,共有10种情况,其中能搭成三角形的有(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9)3种情况,则能搭成三角形的概率为310.故选A.5.答案 A 信息提取 ①十二个词依次写在六张规格相同的卡片的正反面.②任意抽取1张卡片,求写有“爱国”“诚信”两词中的一个的概率.数学建模 本题以社会主义核心价值观为背景,构建古典概型,应用古典概率公式解决求值问题,可先用列举法把所有基本事件写出来,从而可得到基本事件总数及写有“爱国”“诚信”两词中的一个事件总数,最后应用古典概率公式求结果.解析 由题意,知基本事件为抽到写有富强、民主;文明、和谐;自由、平等;公正、法治;爱国、敬业;诚信、友善的卡片,共有6个,其中抽到写有“爱国”“诚信”两词中的一个的事件为:抽到写有爱国、敬业的卡片,抽到写有诚信、友善的卡片,共有2个,所以由古典概型概率公式知P=26=13.6.答案 310解析 从中随机抽出一本书共有10种情况,抽到物理书有3种情况,故抽到物理书的概率为310.7.答案 512解析 记点数大的为赢,小的为输.由于对称性,甲赢与甲输(乙赢)的概率相等,又因为和局的概率为16,所以甲赢的概率为1-16÷2=512.故甲先走棋的概率为512.8.解析 随机地抽取两个小球,记事件A为“两个小球上的数字为相邻整数”,可能结果为10
(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7),(7,8),(8,9),(9,10),(2,1),(3,2),(4,3),(5,4),(6,5),(7,6),(8,7),(9,8),(10,9),共18种.(1)如果小球是不放回的,按抽取顺序记录结果(x,y),则x有10种可能,y有9种可能,共有90种可能结果,因此,事件A的概率是1890=15.(2)如果小球是有放回的,按抽取顺序记录结果(x,y),则x有10种可能,y有10种可能,共有100种可能结果,因此,事件A的概率是18100=950.9.D 由题意知,得到(a,b)的取值的所有可能结果有:(-2,-1),(-2,1),(-2,3),(1,-1),(1,1),(1,3),(2,-1),(2,1),(2,3),共计9种,其中当a≥0,b≥0时,直线不过第四象限,结果有(1,1),(1,3),(2,1),(2,3),共计4种,所以当直线ax-y+b=0一定经过第四象限时,共有5种情况,所以概率为59.10.解析 一个骰子抛掷两次,其基本事件总数为36,方程有实根的条件为b2≥4c.b123456使b2≥4c的基本事件个数012466由此可见,使方程有实根的基本事件个数为0+1+2+4+6+6=19,于是方程有实根的概率为1936.能力提升练一、单项选择题1.C 同时抛掷两个骰子,共有62=36个样本点,事件“向上的点数之和是6”所包含的样本点有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5个.因此,所求事件的概率为536.故选C.2.B 将3只注射了新药的小动物编号为A,B,C,3只未注射新药的小动物编号为a,b,c.记事件M:恰有1只注射过该新药.所有的基本事件有(A,B),(A,C),(A,a),(A,b),(A,c),(B,C),(B,a),(B,b),(B,c),(C,a),(C,b),(C,c),(a,b),(a,c),(b,c),共15个,其中事件M所包含的基本事件有9个,由古典概型的概率计算公式得P(M)=915=35,故选B.10
3.D 三位数的回文数为ABA,A可以是1到9中的任意一个数,共9种可能,即1B1、2B2、3B3、…,B可以是0到9中的任意一个数,共10种可能,即A0A、A1A、A2A、A3A、…,所以所有可能的结果共有9×10=90(种),若ABA为偶数,则A是偶数,共4种可能,即2B2,4B4,6B6,8B8,B可以是0到9中的任意一个数,共10种可能,即A0A、A1A、A2A、A3A、…,则ABA为偶数的结果共有4×10=40(种),∴三位数的回文数中,偶数的概率P=4090=49.二、多项选择题4.AD 对于A,由古典概型的定义知,所有基本事件的概率都相等,故所有基本事件之间都是“等概率事件”,故A正确;对于B,如在1,3,5,7,9五个数中,任取两个数,所得和为8和10这两个事件发生的概率相等,故B错误;对于C,由题可知“等概率事件”是针对同一个古典概型的,故C不正确;对于D,同时抛掷三枚硬币一次共有8种不同的结果,其中“仅有一个正面”包含3种结果,其概率为38,“仅有两个正面”包含3种结果,其概率为38,故这两个事件是“等概率事件”,故D正确.故选AD.5.ABC 对于A,从甲、乙、丙三人中任选两人有(甲、乙),(甲、丙),(乙、丙),共3种情况,其中,甲被选中的情况有2种,故甲被选中的概率P=23,故A正确;对于B,从四条长度各异的线段中任取一条,每条被取出的可能性均相等,所以该试验属于古典概型.又所有基本事件包括(1,3,5),(1,3,7),(1,5,7),(3,5,7)四种情况,而能构成三角形的基本事件只有(3,5,7)一种情况,所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率P=14,故B正确;对于C,该树枝的树梢有6处,有2处能找到食物,且蚂蚁到达每处树梢的可能性相等,所以获得食物的概率为26=13,故C正确;对于D,因为A∪B={2,3,4,5,6,7,9},A∩B={2,3,6},所以由古典概型的概率公式得,所求的概率是37,故D错误.故选ABC.10
三、填空题6.答案 45解析 从五个点中任取三个点,构成基本事件的总数为10,而A,C,E三点共线,B,C,D三点共线,所以从这五个点中任取三个点能构成三角形的个数为10-2=8.故由古典概型的概率公式得所求概率为810=45.7.答案 15解析 一次抽取两根竹竿包含的基本事件有(2.5,2.6),(2.5,2.7),(2.5,2.8),(2.5,2.9),(2.6,2.7),(2.6,2.8),(2.6,2.9),(2.7,2.8),(2.7,2.9),(2.8,2.9),共10种情况,其中长度相差0.3m的有(2.5,2.8),(2.6,2.9),共2种情况,所以由古典概型的概率公式得所求的概率P=210=15.四、解答题8.解析 (1)2名医生记为A1,A2,3名护士记为B1,B2,B3,1名管理人员记为C,则样本空间Ω={(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C),(B1,B2),(B1,B3),(B1,C),(B2,B3),(B2,C),(B3,C)}.(2)设事件M:选中1名医生和1名护士发言,则M={(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3)},∴n(M)=6,又n(Ω)=15,∴P(M)=615=25.(3)设事件N:至少选中1名护士发言,则N={(A1,A2),(A1,C),(A2,C)},∴n(N)=3,∴P(N)=1-P(N)=1-315=45.9.解析 从四个小球中有放回地取两个的情况有(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3),共16种不同的结果.(1)取出的两个小球号码之和等于4或3的取法有(1,3),(2,2),(3,1),(0,3),(1,2),(2,1),(3,0),共7种,则中三等奖的概率为716.10
(2)由(1)知两个小球号码之和等于3或4的取法有7种;两个小球号码之和等于5的取法有2种:(2,3),(3,2);两个小球号码之和等于6的取法有1种:(3,3).则中奖的概率为7+2+116=58.10
