频率的稳定性 随机模拟[A级 基础巩固]1．若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n)，则随着n的逐渐增加，有( )A．f(n)与某个常数相等B．f(n)与某个常数的差逐渐减小C．f(n)与某个常数差的绝对值逐渐减小D．f(n)在某个常数的附近摆动并趋于稳定解析：选D 随着n的增大，频率f(n)会在概率附近摆动并趋于稳定，这也是频率与概率的关系．2．我国古代数学有“米谷粒分”题：发仓募粮，所募粒中秕不百三则收之(不超过3%)．现抽取一把米，取得235粒米中夹批n粒，若这批米合格，则n不超过( )A．6 B．7C．8D．9解析：选B 由题意得，≤3%，解得n≤7.05，所以若这批米合格，则n不超过7.3．(多选)给出下列四个命题，其中正确的命题有( )A．做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是B．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率C．抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是D．随机事件发生的频率不一定是这个随机事件发生的概率解析：选CD A、B混淆了频率与概率的区别，A、B错误；C正确；在D中，频率是概率的估计值，D正确．故选C、D.4．设某厂产品的次品率为2%，估算该厂8000件产品中合格品的件数可能为( )A．160B．7840C．7998D．7800解析：选B 次品率为2%，故次品约8000×2%＝160(件)，故合格品的件数可能为7840.5．(多选)甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是( )7
A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲胜，两枚都是正面向上则乙胜C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜解析：选ACD A项，P(点数为奇数)＝P(点数为偶数)＝；B项，P(恰有一枚正面向上)＝，P(两枚都正面向上)＝；C项，P(牌色为红)＝P(牌色为黑)＝；D项，P(同奇或同偶)＝P(奇偶不同)＝.6．鱼池中共有N条鱼，从中捕出n条并标上记号后放回池中，经过一段时间后，再从池中捕出M条，其中有记号的有m条，则估计鱼池中共有鱼N＝________条．解析：由≈得N＝.答案：7．一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20000辆汽车的相关信息，时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有600辆汽车的挡风玻璃破碎，则一辆汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是________．解析：P＝＝0.03.答案：0.038．某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0～9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果．经随机模拟产生如下10组随机数：812 832 569 683 271 989 730 537 925 907由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率约为________．解析：由10组随机数知，恰有4～9中三个随机数的有569，989两组，故所求的概率约为＝0.2.答案：0.29．为了解某种产品的质量，从一大批产品中抽出若干批进行质量检查，结果如下：抽取个数n50100200500100020007
优等品数m45921944709541902优等品频率(1)计算各批产品中优等品的频率，把上表补充完整；(2)从这一大批产品中随机抽取1个，则抽到优等品的概率约是多少？解：(1)抽取个数n5010020050010002000优等品数m45921944709541902优等品频率0.90.920.970.940.9540.951(2)由(1)知，随着抽取个数的增加，频率都在常数0.95附近摆动，所以从这一大批产品中随机抽取1个，抽到优等品的概率约是0.95.10．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买. 商品顾客人数 甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解：(1)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，7
所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为＝0.3.(3)与(1)同理可得，顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为＝0.1.因此，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．[B级 综合运用]11．下面有三种游戏规则：袋子中分别装有大小相同的球，从袋中取球，游戏1游戏2游戏33个黑球和1个白球1个黑球和1个白球2个黑球和2个白球取1个球，再取1个球取1个球取1个球，再取1个球取出的两个球同色→甲胜取出的球是黑球→甲胜取出的两个球同色→甲胜取出的两个球不同色→乙胜取出的球是白球→乙胜取出的两个球不同色→乙胜问其中不公平的游戏是( )A．游戏1B．游戏1和游戏3C．游戏2D．游戏3解析：选D 游戏1中，取2个球的所有可能情况为：(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，(黑1，白)，(黑2，白)，(黑3，白)．所以甲胜的可能性为0.5，故游戏是公平的；游戏2中，显然甲胜的可能性为0.5，游戏是公平的；游戏3中，取2个球的所有可能情况为：(黑1，黑2)，(黑1，白1)，(黑2，白1)，(黑1，白2)，(黑2，白2)，(白1，白2)．所以甲胜的可能性为，游戏是不公平的．故选D.12．商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋300双，商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况，以这周内某天售出的40双皮鞋的尺码为一个样本，分为5组，已知第3组的频率为0.25，第1，2，4组的频数分别为6，7，9.若第5组表示的是尺码为40～42的皮鞋，则售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为________双．解析：∵第1，2，4组的频数分别为6，7，9，∴第1，2，4组的频率分别为＝0.15，＝0.175，＝0.225.7
∵第3组的频率为0.25，∴第5组的频率是1－0.25－0.15－0.175－0.225＝0.2，∴售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为0.2×300＝60(双)．答案：6013．通过模拟试验产生了20组随机数：6830 3013 7055 7430 7740 4422 78842604 3346 0952 6807 9706 5774 57256576 5929 9768 6071 9138 6754如果恰好有三个数在1，2，3，4，5，6中，表示恰好有三次击中目标，则四次射击中恰好有三次击中目标的概率约为________，四次射击全都击中目标的概率约为________．解析：表示三次击中目标的分别是3013，2604，5725，6576，6754，共5组数，而随机数总共20组，所以所求的概率近似为＝0.25.四次全击中有4422，3346两组，概率约为＝＝0.1.答案：0.25 0.114．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)解：(1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000(部)，获得好评的第四类电影的部数是200×0.25＝50(部)，故所求概率为＝0.025.7
(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372(部)，故所求概率估计为1－＝0.814.(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．[C级 拓展探究]15．现有某种不透明充气包装的袋装零食，每袋零食附赠玩具A，B，C中的一个．对某零售店售出的100袋零食中附赠的玩具类型进行追踪调查，得到以下数据：BBABC ACABA AAABC BABAA CAAABABCCCBCBBCCABCABACABBCBCBBCCCABCCAABCCCBACCBBBACABACCABBBBAACABCABCBBCCABCA(1)能否认为购买一袋该零食，获得玩具A，B，C的概率相同？请说明理由；(2)假设每袋零食随机附赠玩具A，B，C是等可能的，某人一次性购买该零食3袋，求他能从这3袋零食中集齐玩具A，B及C的概率P.解：(1)答案一：能．理由如下：假设购买一袋该零食，获得玩具A，B，C的概率相同，此时购买一袋该零食获得每一款玩具的概率均为.对统计数据整理，可得购买一袋该零食，获得玩具A，B，C的频率分别是32%，35%，33%，与假设中的概率非常接近，故可以认为假设成立，即能够认为购买一袋该零食，获得玩具A，B，C的概率相同．答案二：不能．理由如下：对统计数据整理，可得购买一袋该零食，获得玩具A，B，C的频率分别是32%，35%，33%，其中35%－32%＝3%，差别较大，故不能够认为购买一袋该零食，获得玩具A，B，C的概率相同．(2)据题设知，将其购买的第一袋、第二袋、第三袋零食中附赠的玩具按顺序列出，可知共有27种不同的可能，即AAA，AAB，AAC，ABA，ABB，ABC，ACA，ACB，ACC，BAA，BAB，BAC，BBA，BBB，BBC，BCA，BCB，BCC，CAA，CAB，CAC，CBA，CBB，CBC，CCA，CCB，CCC.7
其中，可集齐三种玩具的情况共有6种(以下划线形式标出)，而每种可能出现的机会相等．根据古典概型的概率计算公式知他能从这3袋零食中集齐玩具A，B及C的概率P＝＝.7
