不等关系与比较大小[A级 基础巩固]1．某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10m，用不等式表示( )A．v≤120(km/h)或d≥10(m)B.C．v≤120(km/h)D．d≥10(m)解析：选B 最大限速与车距是同时的，故选B.2．不等式a2＋b2≥2|ab|成立时，a，b一定是( )A．正数 B．非负数C．实数D．不存在解析：选C 原不等式可变形为a2＋b2－2|ab|＝|a|2＋|b|2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，对任意实数都成立．3．若x∈R，y∈R则( )A．x2＋y2＞2xy－1B．x2＋y2＝2xy－1C．x2＋y2＜2xy－1D．x2＋y2≤2xy－1解析：选A 因为x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋1＞0，所以x2＋y2＞2xy－1，故选A.4．实数x，y，z满足x＋y＋z＝0，xyz＞0，若T＝＋＋，则( )A．T＞0B．T＜0C．T＝0D．T≥0解析：选B 因为x＋y＋z＝0且xyz＞0，不妨设x＞0，则y＜0，z＜0，则T＝＋＋＝＝＝.因为x＞0，z＜0，所以xz＜0.又－y2＜0，所以－y2＋xz＜0.又xyz＞0，所以T＜0.故选B.5．(多选)下面列出的几种不等关系中，正确的为( )A．x与2的和是非负数，可表示为“x＋2＞0”B．小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮，可表示为“x＞y”C．△ABC的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c，则可表示为“a＋b＞c且b＋c＞a”D．若某天的温度为t，最低温度为7℃，最高温度为13℃，5
则这天的温度范围可表示为“7℃≤t≤13℃”解析：选CD 对于A中，x与2的和是非负数，应表示为“x＋2≥0”，故A错误；对于B中，小明比小华矮，应表示为“x＜y”，故B错误；对于C中，根据三角形的性质，两边之和大于第三边，所以C正确；对于D中，最低温度为7℃，最高温度为13℃，则这天的温度范围可表示为“7℃≤t≤13℃”，所以D正确．故选C、D.6．若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，则x与y的大小关系是________．解析：x－y＝(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7＜0，所以x＜y.答案：x＜y7．一辆汽车原来每天行驶xkm，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19km，那么在8天内它的行程就超过2200km，写出不等式为________；如果它每天行驶的路程比原来少12km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________．解析：由题意知，汽车原来每天行驶xkm，如果它每天行驶的路程比原来多19km，那么8天内它的行程超过2200km,则8(x＋19)＞2200.若每天行驶的路程比原来少12km，则原来行驶8天的路程就要用9天多，即＞9.答案：8(x＋19)＞2200 ＞98．已知a，b，x均为正数，且a＞b，则________.(填“＞”“＜”或“＝”)解析：－＝＝.因为a＞0，a＞b，x＞0，所以x＋a＞0，b－a＜0，所以＜0，所以＜.答案：＜9．有学生若干人，住若干宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每间住6人，那么只有一间不满但不空，求宿舍间数和学生人数．解：设宿舍有x间，则学生有(4x＋19)人，依题意，解得＜x＜.∵x∈N*，∴x＝10，11或12.学生人数分别为59，63，67.故宿舍间数和学生人数分别为10间59人，11间63人或12间67人．10．(1)已知a，b∈R，a＋b>0，试比较a3＋b3与ab2＋a2b的大小：(2)已知a≥1，试比较M＝－和N＝－的大小．5
解：(1)因为a＋b>0，(a－b)2≥0，所以a3＋b3－ab2－a2b＝a3－a2b＋b3－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)(a－b)(a＋b)＝(a－b)2(a＋b)≥0，所以a3＋b3≥ab2＋a2b.(2)因为a≥1，所以M＝－>0，N＝－>0.所以＝＝.因为＋>＋>0，所以<1，所以M<N.[B级 综合运用]11．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是( )A．h2＞h1＞h4B．h1＞h2＞h3C．h3＞h2＞h4D．h2＞h4＞h1解析：选A 根据四个杯的形状分析易知h2＞h1＞h4或h2＞h3＞h4.12．若p＝－，q＝－，其中a≥0，则p，q的大小关系是( )A．p＜qB．p＝qC．p＞qD．不确定解析：选A 由题意知p－q＝＋－(＋)．∵(＋)2－(＋)2＝2－2，且(a＋3)(a＋6)－(a＋4)(a＋5)＝－2＜0，a≥0，∴2－2＜0，即(＋)2－(＋)2＜0，∴p－q＝＋－(＋)＜0，故p＜q.13．比较大小：a2＋b2＋c2________2(a＋b＋c)－4.解析：a2＋b2＋c2－[2(a＋b＋c)－4]＝a2＋b2＋c2－2a－2b－2c＋4＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2＋1≥1＞0，5
故a2＋b2＋c2＞2(a＋b＋c)－4.答案：＞14．已知0<a<b且a＋b＝1，试比较：(1)a2＋b2与b的大小；(2)2ab与的大小．解：(1)因为0<a<b且a＋b＝1，所以0<a<<b，则a2＋b2－b＝a2＋b(b－1)＝a2－ab＝a(a－b)<0，所以a2＋b2<b.(2)因为2ab－＝2a(1－a)－＝－2a2＋2a－＝－2＝－2<0，所以2ab<.[C级 拓展探究]15．为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．设组建中型图书角x个，用不等式组将题目中的不等关系表示出来，并求出那些符合题意的组建方案．解：因为组建中型图书角x个，所以组建小型图书角为(30－x)个，则解这个不等式组得18≤x≤20.由于x只能取正整数，所以x的取值是18，19，20.当x＝18时，30－x＝12；当x＝19时，30－x＝11；当x＝20时，30－x＝10.故有三种组建方案：方案一，组建中型图书角18个，小型图书角12个；方案二，5
组建中型图书角19个，小型图书角11个；方案三，组建中型图书角20个，小型图书角10个．5
