集合的基本关系[A级 基础巩固]1．(多选)已知集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列式子表示正确的有( )A．1∈A B．{－1}∈AC．∅⊆AD．{1，－1}⊆A解析：选ACD A＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，故A、C、D正确，B不正确．2．若集合A＝{x|x≥0}，且B⊆A，则集合B可能是( )A．{1，2}B．{x|x≤1}C．{－1，0，1}D．R解析：选A 因为集合A＝{x|x≥0}，且B⊆A，所以集合B是集合A的子集．当集合B＝{1，2}时，满足题意；当集合B＝{x|x≤1}时，－1∉A，不满足题意；当集合B＝{－1，0，1}时，－1∉A，不满足题意；当集合B＝R时，－1∉A，不满足题意，故选A.3．已知集合U＝R，则正确表示集合U，M＝{－1，0，1}，N＝{x|x2＋x＝0}之间关系的维恩图是( )解析：选B 由N＝{x|x2＋x＝0}，得N＝{－1，0}，则NMU.4．满足{a}⊆M{a，b，c，d}的集合M共有( )A．6个B．7个C．8个D．15个解析：选B 依题意a∈M，且M{a，b，c，d}，因此M中必含有元素a，且可含有元素b，c，d中的0个、1个或2个，即M的个数等于集合{b，c，d}的真子集的个数，有23－1＝7(个)．5．(多选)已知非空集合M满足：①M⊆{－2，－1，1，2，3，4}，②若x∈M，则x2∈M.则满足上述要求的集合M有( )A．{－1，1}B．{－1，1，2，4}C．{1}D．{1，－2，2，4}解析：选AC 由题意可知3∉M且4∉M，而－2或2与4同时出现，所以－2∉M且2∉M，所以满足条件的非空集合M有{－1，1}，{1}，故选A、C.6．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝，则A，B5
准确的关系是________．解析：因为B＝＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，故BA.答案：BA7．图中反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，请作适当的选择填入下面的空格：A为________；B为________；C为________；D为________．解析：由维恩图可得AB，CDB，A与D之间无包含关系，A与C之间无包含关系．由“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”四个文学概念之间的关系，可得A为小说，B为文学作品，C为叙事散文，D为散文．答案：小说 文学作品 叙事散文 散文8．已知集合A＝{a，a－1}，B＝{2，y}，C＝{x|1＜x－1＜4}．(1)若A＝B，则y的值为________；(2)若A⊆C，则a的取值范围为________．解析：(1)若a＝2，则A＝{1，2}，所以y＝1.若a－1＝2，则a＝3，A＝{2，3}，所以y＝3，综上，y的值为1或3.(2)因为C＝{x|2＜x＜5}，所以所以3＜a＜5.答案：(1)1或3 (2){a|3<a<5}9．判断下列各组中集合之间的关系：(1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}；(2)A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x∈R|x2＋1＝0}；(3)M＝，N＝.解：(1)因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以AB.(2)因为A＝{x|x2－x＝0}＝{0，1}，B＝{x∈R|x2＋1＝0}＝∅，所以BA.(3)对于集合M，其组成元素是，分子部分表示所有的整数；而对于集合N，5
其组成元素是＋n＝，分子部分表示所有的奇数．由真子集的概念知，NM.10．设集合A＝{1，3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B⊆A，求a的值．解：∵B⊆A，∴a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.(1)当a2－a＋1＝3时，解得a＝－1或a＝2.经检验，满足题意．(2)当a2－a＋1＝a时，解得a＝1，此时集合A中的元素1重复，故a＝1不合题意．综上所述，a＝－1或a＝2.[B级 综合运用]11．(多选)已知A⊆B，A⊆C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，则集合A可以是( )A．{1，8}B．{2，3}C．{1}D．{2}解析：选AC ∵A⊆B，A⊆C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，∴集合A中一定含有集合B，C的公共元素，结合选项可知A、C满足题意．12．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有两个子集，则a的值是( )A．1B．－1C．0，1D．－1，0，1解析：选D 因为集合A有且仅有两个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax2＋2x＋a＝0(a∈R)仅有一个根．当a＝0时，方程化为2x＝0，此时A＝{0}，符合题意．当a≠0时，由Δ＝22－4·a·a＝0，即a2＝1，故a＝±1.此时A＝{－1}，或A＝{1}，符合题意．综上所述，a＝0或a＝±1.13．若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合A＝{－1，2}，B＝{x|ax2＝2，a≥0}，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为______．解析：当a＝0时，B＝∅，此时满足B⊆A，当a>0时，B＝，此时A，B集合只能是“蚕食”关系，所以当A，B集合有公共元素－＝－1时，解得a＝2，5
当A，B集合有公共元素＝2时，解得a＝，故a的取值集合为.答案：14．设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1<x<2m＋1}．(1)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；(2)若A⊇B，求m的取值范围．解：化简集合A，得A＝{x|－2≤x≤5}．(1)∵x∈Z，∴A＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，即A中含有8个元素，∴A的非空真子集数为28－2＝254(个)．(2)①当m－1≥2m＋1，即m≤－2时，B＝∅⊆A；②当m>－2时，B＝{x|m－1<x<2m＋1}，因此，要B⊆A，则只要⇒－1≤m≤2.综上所述，m的取值范围是{m|－1≤m≤2，或m≤－2}．[C级 拓展探究]15．已知集合A＝{x||x－a|＝4}，集合B＝{1，2，b}．(1)是否存在实数a，使得对于任意实数b都有A⊆B？若存在，求出对应的a值；若不存在，说明理由；(2)若A⊆B成立，求出对应的实数对(a，b)．解：(1)对于任意实数b都有A⊆B，当且仅当集合A中的元素为1，2时成立．∵A＝{a－4，a＋4}，∴或解方程组可知无解．∴不存在实数a，使得对于任意实数b都有A⊆B.(2)由(1)易知，若A⊆B，则或5
或或解得或或或则所求实数对为(5，9)或(6，10)或(－3，－7)或(－2，－6)．5
