集合间的基本关系[A级 基础巩固]1．下列四个集合中，是空集的是( )A．{x|x＋3＝3}B．{(x，y)|y2＝－x2，x，y∈R}C．{x|x2≤0}D．{x|x2－x＋1＝0，x∈R}解析：选D ∵x2－x＋1＝0，Δ＝1－4＝－3＜0，方程无解，∴{x|x2－x＋1＝0，x∈R}＝∅，故选D.2．下列表示集合M＝{－1，0，1}和N＝{x|x2－x＝0}的关系的Venn图正确的是( )解析：选B 由N＝{1，0}，知NM，故选B.3．在“新冠肺炎”疫情期间，某社区男、女党员自发组成志愿者队伍，参与社区的防疫工作．若集合A＝{参与防疫工作的志愿者}，集合B＝{参与防疫工作的男党员}，集合C＝{参与防疫工作的女党员}，则下列关系正确的是( )A．A⊆B B．B⊆CC．CAD．BA解析：选D 易知集合B，C是集合A的子集，且是真子集，而集合B，C之间没有包含关系，因此只有D选项正确．4．(多选)已知A⊆B，A⊆C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，则集合A可以是( )A．{1，8}B．{2，3}C．{1}D．{2}解析：选AC ∵A⊆B，A⊆C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，∴集合A中一定含有集合B，C的公共元素，结合选项可知A，C满足题意．5．已知∅{x|x2－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是( )A．a＜B．a≤C．a≥D．a＞解析：选B ∵∅{x|x2－x＋a＝0}，∴关于x的一元二次方程x2－x＋a＝0有实数根，∴Δ＝(－1)2－4a≥0，故a≤.5
6．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝，则A，B准确的关系是________．解析：因为B＝＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，故BA.答案：BA7．设集合A＝{－1，1}，集合B＝{x|ax＝1，a∈R}，则使得B⊆A的a的所有取值构成的集合是________．解析：∵B⊆A，∴①当B是∅时，可知a＝0，符合题意；②当B＝{1}时，可得a＝1，符合题意；③当B＝{－1}时，可得a＝－1，符合题意．故满足条件的a的所有取值构成的集合是{－1，0，1}．答案：{－1，0，1}8．已知集合A＝{a，a－1}，B＝{2，y}，C＝{x|1＜x－1＜4}．(1)若A＝B，则y的值为________；(2)若A⊆C，则a的取值范围为________．解析：(1)若a＝2，则A＝{1，2}，所以y＝1.若a－1＝2，则a＝3，A＝{2，3}，所以y＝3，综上，y的值为1或3.(2)因为C＝{x|2＜x＜5}，所以所以3＜a＜5.答案：(1)1或3 (2)3<a<59．判断下列集合间的关系：(1)A＝{－1，1}，B＝{x∈N|x2＝1}；(2)P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2(n－1)，n∈Z}；(3)A＝{x|x－3>2}，B＝{x|2x－5≥0}；(4)A＝{x|x＝a2＋1，a∈R}，B＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}．解：(1)用列举法表示集合B＝{1}，故BA.(2)因为Q中n∈Z，所以n－1∈Z，Q与P都表示偶数集，所以P＝Q.(3)因为A＝{x|x－3>2}＝{x|x>5}，B＝{x|2x－5≥0}＝，所以利用数轴判断A，B的关系．如图所示，AB.5
(4)因为A＝{x|x＝a2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，B＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}＝{x|x＝(a－2)2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，所以A＝B.10．设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．(1)若a＝，试判断集合A与B的关系；(2)若B⊆A，求实数a组成的集合C.解：(1)A＝{x|x2－8x＋15＝0}＝{5，3}，当a＝时，B＝{5}，元素5是集合A＝{5，3}中的元素，集合A＝{5，3}中除元素5外，还有元素3，3不在集合B中，所以BA.(2)当a＝0时，由题意得B＝∅，又A＝{3，5}，故B⊆A；当a≠0时，B＝，又A＝{3，5}，B⊆A，此时＝3或5，则有a＝或a＝.所以C＝.[B级 综合运用]11．定义集合P－Q＝{x|x＝p－q，p∈P，q∈Q}，若集合P＝{4，5，6}，Q＝{1，2，3}，则集合P－Q的所有真子集的个数为( )A．32B．31C．16D．15解析：选B 由题中所给定义，可知P－Q＝{1，2，3，4，5}，∴P－Q的所有真子集的个数为25－1＝31.故选B.12．已知集合A＝{x，1}，B＝{y，1，2，4}，且A是B的真子集．若实数y在集合{0，1，2，3，4}中，则不同的集合{x，y}共有( )A．4个B．5个C．6个D．7个解析：选A 分析知x≠y.由A是B的真子集，得x＝2或x＝4.由y在集合{0，1，2，3，4}中及集合中元素的互异性，得y＝0或y＝3，故集合{x，y}的所有可能情况为{2，0}，5
{2，3}，{4，0}，{4，3}，共4个，故选A.13．已知集合A＝，B＝，则集合A，B之间的关系为________．解析：A＝＝，B＝＝，故A＝B.答案：A＝B14．已知集合M＝{x|－2≤x≤5}，N＝{x|m－6≤x≤2m－1}．(1)若M＝N，求实数m的取值范围；(2)若M⊆N，求实数m的取值范围．解：(1)若M＝N，则方程组无解，即不存在实数m使得M＝N，所以实数m的取值范围为∅.(2)若M⊆N，则解得3≤m≤4，所以实数m的取值范围是{m|3≤m≤4}．[C级 拓展探究]15．已知集合A＝{x||x－a|＝4}，集合B＝{1，2，b}．(1)是否存在实数a，使得对于任意实数b都有A⊆B？若存在，求出相应的a值；若不存在，试说明理由；(2)若A⊆B成立，求出相应的实数对(a，b)．解：(1)不存在．理由如下：若对任意的实数b都有A⊆B，则当且仅当1和2也是A中的元素时才有可能．因为A＝{a－4，a＋4}，所以或这都不可能，所以这样的实数a不存在．(2)由(1)易知，当且仅当或或或时，A⊆B.5
解得或或或所以所求的实数对为(5，9)，(6，10)，(－3，－7)，(－2，－6)．5
