函数的表示法[A级 基础巩固]1．以下形式中，不能表示y是x的函数的是( )A.x1234y4321B.C．y＝x2D．(x＋y)(x－y)＝0解析：选D 根据函数的定义及表示方法可知，只有选项D中可化为y＝x或y＝－x，不满足函数的定义，故选D.2．设函数f：R→R满足f(0)＝1，且对任意x，y∈R，都有f(xy＋1)＝f(x)f(y)－f(y)－x＋2，则f(2021)＝( )A．0 B．1C．2021D．2022解析：选D f(xy＋1)＝f(x)f(y)－f(y)－x＋2，f(0)＝1，当x＝0时，f(1)＝f(0)f(y)－f(y)＋2＝2，当y＝0时，f(1)＝f(x)f(0)－f(0)－x＋2＝2，因此f(x)＝x＋1，所以f(2021)＝2022，故选D.3．若一次函数的图象经过点A(1，6)和B(2，8)，则该函数的图象还可能经过的点的坐标为( )A.B.C．(－1，3)D．(－2，1)解析：选A 设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，由该函数的图象经过点A(1，6)和B(2，8)，得解得，所以此函数的解析式为y＝2x＋4，只有A选项的坐标符合此函数的解析式．故选A.6
4．德国数学家狄利克雷在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数”．这个定义较清楚地说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，都有一个确定的y与之对应，不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其他形式．已知函数f(x)由下表给出，则f的值为( )xx≤11<x<2x≥2f(x)123A．0B．1C．2D．3解析：选D ∵∈(－∞，1]，∴f＝1，则10f＝10，∴f＝f(10)．又∵10∈[2，＋∞)，∴f(10)＝3，故选D.5．(多选)已知f(2x＋1)＝x2，则下列结论正确的是( )A．f(－3)＝4B．f(x)＝C．f(x)＝x2D．f(3)＝9解析：选AB f(2x＋1)＝x2，令t＝2x＋1，则x＝，所以f(t)＝＝，则f(x)＝，故B正确，C错误；f(－3)＝＝4，故A正确；f(3)＝＝1，故D错误．故选A、B.6．已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝4，则a＝________．解析：因为f(2x＋1)＝(2x＋1)＋，所以f(a)＝a＋.又f(a)＝4，所以a＋＝4，a＝.答案：6
7．设函数f(x)对x≠0的一切实数均有f(x)＋2·f＝3x，则f(2022)等于________．解析：分别令x＝1和x＝2022得解得f(2022)＝－2020.答案：－20208．某企业生产某种产品时的能耗y与所生产的产品件数x之间的关系式为y＝ax＋，其中，当x＝2时，y＝100；当x＝7时，y＝35，且此产品生产件数不超过20.则y关于x的解析式为________．解析：由题意知即解得所以所求函数的解析式为y＝x＋(0<x≤20，且x∈N*)．答案：y＝x＋(0<x≤20，且x∈N*)9．已知函数p＝f(m)的图象如图所示．求：(1)函数p＝f(m)的定义域；(2)函数p＝f(m)的值域；(3)p取何值时，只有唯一的m值与之对应．解：(1)观察函数p＝f(m)的图象，可以看出图象上所有点的横坐标的取值范围是－3≤m≤0或1≤m≤4，由图知定义域为[－3，0]∪[1，4]．(2)由图知值域为[－2，2]．(3)由图知：p∈(0，2]时，只有唯一的m值与之对应．10．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)的图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1.(1)求函数y＝f(x)的解析式；6
(2)若函数y＝g(x)满足g(2x＋1)＝f(x)，求函数y＝g(x)的解析式．解：(1)由题意得解得∴f(x)＝－x2－2x＋3.(2)g(2x＋1)＝f(x)＝－x2－2x＋3，设2x＋1＝t，则x＝，∴g(t)＝－－2·＋3＝－－＋，∴g(x)＝－－＋.[B级 综合运用]11．(2021·河北石家庄二中高一月考)若函数f(x－1)＝2x－5，且f(2a－1)＝6，则a等于( )A.B.C.D.解析：选A 依题意得解得故选A.12．已知函数f(x)满足f(x)＝2f＋3x，则f(x)的解析式为________________．解析：由题意知函数f(x)满足f(x)＝2f＋3x，即f(x)－2f＝3x，用代换上式中的x，可得f－2f(x)＝，联立方程得解得f(x)＝－x－(x≠0)．答案：f(x)＝－x－(x≠0)13．某航空公司规定，乘客所携带行李的重量(单位：kg)与其运费(单位：元)由如图的一次函数图象确定，那么这个一次函数的解析式y＝________，6
乘客可免费携带行李的最大重量为________kg.解析：设一次函数解析式y＝ax＋b(a≠0)，代入点(30，330)与点(40，630)，得解得即y＝30x－570，若要免费，则y≤0，所以x≤19.答案：30x－570 1914.如图所示，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出此盒子的体积V以x为自变量的函数式，并指明这个函数的定义域．解：由题意可知该盒子是一个长为(a－2x)，宽为(a－2x)，高为x的长方体，所以此盒子的体积V＝(a－2x)2·x＝x(a－2x)2，其中自变量x应满足即0<x<.所以此盒子的体积V以x为自变量的函数式为V＝x(a－2x)2，定义域为.[C级 拓展探究]15．已知函数f(x)＝x2－2x＋2，利用函数图象解决下列问题：(1)若x1<x2≤1，试比较f(x1)与f(x2)的大小；(2)若f(x)的定义域和值域都是[1，b]，试求b的值．解：(1)f(x)＝(x－1)2＋1，作出函数f(x)的图象，如图所示：由函数f(x)的图象，可知当x1<x2≤1时，f(x1)>f(x2)．(2)由函数f(x)的图象，可知当f(x)的定义域是[1，b]时，其值域应为[f(1)，6
f(b)]．又f(x)的值域是[1，b]，且f(1)＝1，所以f(b)＝b，即b2－2b＋2＝b，解得b＝1或b＝2.又b>1，所以b＝2.6
