函数的表示方法[A级 基础巩固]1．(多选)下列函数中，满足f(2x)＝2f(x)的是( )A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|C．f(x)＝x＋1D．f(x)＝－x解析：选ABD ∵|2x|＝2|x|，∴A满足；∵2x－|2x|＝2(x－|x|)，∴B满足；∵－2x＝2·(－x)，∴D满足；∵2x＋1≠2(x＋1)，∴C不满足．2．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图像是如图的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2))的值为( )A．3 B．2 C．1 D．0解析：选B 由函数g(x)的图像知，g(2)＝1，则f(g(2))＝f(1)＝2.3．已知f(x－1)＝x2－1，则f(0)的值为( )A．－1B．1C．0D．3解析：选C 令g(x)＝f(x－1)＝x2－1，则f(0)＝g(1)＝12－1＝0，故选C.4．函数y＝－的大致图像是( )解析：选B 函数y＝－的图像是由函数y＝－的图像向左平移1个单位长度得到的，而函数y＝－的图像在第二、第四象限，结合所给的四个图像只有B符合，故选B.5．定义两种运算a⊕b＝，a⊗b＝，则函数f(x)＝的解析式为( )5
A．f(x)＝，x∈[－2，0)∪(0，2]B．f(x)＝，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)C．f(x)＝，x∈(－∞，－1]∪(2，＋∞)D．f(x)＝，x∈[－2，0)∪(0，2]解析：选D 依题意2⊕x＝，x⊗2＝＝|x－2|，则f(x)＝.由得－2≤x≤2且x≠0，∴f(x)＝，x∈[－2，0)∪(0，2]，故选D.6．已知f(x)是一次函数，满足3f(x＋1)＝6x＋4，则f(x)＝________．解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(x＋1)＝a(x＋1)＋b＝ax＋a＋b，依题设，3ax＋3a＋3b＝6x＋4，∴∴则f(x)＝2x－.答案：2x－7．已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝4，则a＝________．解析：因为f(2x＋1)＝(2x＋1)＋，所以f(a)＝a＋.又f(a)＝4，所以a＋＝4，a＝.答案：8．一个弹簧不挂物体时长12cm，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比．如果挂上3kg物体后弹簧总长是13.5cm，则弹簧总长y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数解析式为________．解析：设所求函数解析式为y＝kx＋12(k≠0)，把x＝3，y＝13.5代入，得13.5＝3k＋12，解得k＝，所以所求的函数解析式为y＝x＋12(x≥0)．5
答案：y＝x＋12(x≥0)9．已知函数p＝f(m)的图像如图所示．求：(1)函数p＝f(m)的定义域；(2)函数p＝f(m)的值域；(3)p取何值时，只有唯一的m值与之对应．解：(1)观察函数p＝f(m)的图像，可以看出图像上所有点的横坐标的取值范围是－3≤m≤0或1≤m≤4，由题图知定义域为[－3，0]∪[1，4]．(2)由题图知值域为[－2，2]．(3)由题图知：p∈(0，2]时，只有唯一的m值与之对应．10．已知f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，求f(x)的解析式．解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又f(0)＝c＝3，∴f(x)＝ax2＋bx＋3，∴f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.∴解得∴f(x)＝x2－x＋3.[B级 综合运用]11．向一杯中匀速注水，杯中水面的高度h随时间t变化的函数h＝f(t)的大致图像如图所示，则杯子的形状可能是( )解析：选A 函数图像的走势是稍陡、陡、平，水面高度的变化与所给容器的粗细有关，容器应为下粗上细且上下两部分均为柱体，水面上升速度是匀速的，故选A.12．(多选)设[x]表示小于等于x的最大整数，则对任意实数x，下列各式错误的是( )A．[－x]＝－[x]B.＝[x]C．[2x]＝2[x]D．[x]＋＝[2x]5
解析：选ABC 取特殊值进行判断，当x＝1.1时，[－x]＝－2，－[x]＝－1，故A错误；当x＝－1.1时，＝[－0.6]＝－1，[x]＝－2，故B错误；当x＝1.9时，[2x]＝3，2[x]＝2，故C错误，D正确．13．已知f(x)满足f(ab)＝f(a)＋f(b)，且f(2)＝2，f(3)＝3，那么f(12)＝________．解析：由f(ab)＝f(a)＋f(b)，可得f(12)＝f(4)＋f(3)，f(4)＝f(2)＋f(2)，∴f(12)＝2f(2)＋f(3)＝4＋3＝7.答案：714．设二次函数f(x)满足f(x－2)＝f(－x－2)，且图像与y轴交点的纵坐标为1，被x轴截得的线段长为2，求f(x)的解析式．解：法一：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由f(x－2)＝f(－x－2)得4a－b＝0；①又因为|x1－x2|＝＝2，所以b2－4ac＝8a2；②又由已知得c＝1.③由①②③解得b＝2，a＝，c＝1，所以f(x)＝x2＋2x＋1.法二：因为y＝f(x)的图像有对称轴x＝－2，又|x1－x2|＝2，所以y＝f(x)的图像与x轴的交点为(－2－，0)，(－2＋，0)，故可设f(x)＝a(x＋2＋)(x＋2－)．因为f(0)＝1，所以a＝.所以f(x)＝[(x＋2)2－2]＝x2＋2x＋1.[C级 拓展探究]15．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)满足f(x＋1)－f(x)＝4x＋1，且f(0)＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[－1，1]上，不等式f(x)>6x＋m恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)由f(0)＝3得，c＝3，5
∴f(x)＝ax2＋bx＋3.又f(x＋1)－f(x)＝4x＋1，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4x＋1，即2ax＋a＋b＝4x＋1，∴∴∴f(x)＝2x2－x＋3.(2)f(x)>6x＋m等价于2x2－x＋3>6x＋m，即2x2－7x＋3>m在[－1，1]上恒成立，令g(x)＝2x2－7x＋3，则g(x)min＝g(1)＝－2，∴m<－2.5
