分段函数[A级 基础巩固]1．已知函数f(x)＝则f(f(3))的值是( )A．－24 B．－15C．－6D．12解析：选C ∵函数f(x)＝∴f(3)＝2×3－32＝－3，∴f(f(3))＝f(－3)＝2×(－3)＝－6.故选C.2．(多选)已知函数y＝若f(a)＝10，则a的值可以是( )A．－3B．3C．0D．5解析：选AD 当a≤0时，f(a)＝a2＋1＝10，解得a＝3(舍去)，或a＝－3.当a>0时，f(a)＝2a＝10，解得a＝5，符合，综上，a＝－3或5.故选A、D.3．著名的Dirichlet函数D(x)＝则D[D(x)]＝( )A．0B．1C.D.解析：选B ∵D(x)∈{0，1}，∴D(x)为有理数，∴D[D(x)]＝1.4．函数f(x)＝x2－2|x|的图像是( )解析：选C f(x)＝分段画出，应选C.5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10m3的，按m元/m3收费；用水量超过10m3的，超过部分按2m元/m3收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为( )A．13m3B．14m3C．18m3D．26m3解析：选A 该单位职工每月应缴水费y(元)与实际用水量x(m3)满足的关系式为y＝由y＝16m，可知x＞10.令2mx－10m＝16m，解得x＝13.5
6.已知函数f(x)的图像是两条线段(如图所示，不含端点)，则f＝________．解析：由题图可知，函数f(x)的解析式为f(x)＝所以f＝－1＝－，所以f＝f＝－＋1＝.答案：7．已知f(x)＝则f＋f＝________．解析：∵f(x)＝∴f＝f＝f＝f＝f＝×2＝，f＝2×＝，∴f＋f＝＋＝4.答案：48．已知函数f(x)＝若f(f(0))＝a，则实数a＝________．解析：依题意知f(0)＝3×0＋2＝2，则f(f(0))＝f(2)＝22－2a＝a，求得a＝.答案：9．已知函数f(x)＝(1)求f(2)，f(f(2))的值；(2)若f(x0)＝8，求x0的值．解：(1)∵0≤x≤2时，f(x)＝x2－4，∴f(2)＝22－4＝0，f(f(2))＝f(0)＝02－4＝－4.(2)当0≤x0≤2时，由x－4＝8，得x0＝±2(舍去)；当x0>2时，由2x0＝8，得x0＝4.∴x0＝4.5
10．已知f(x)＝(1)画出f(x)的图像；(2)若f(x)≥，求x的取值范围；(3)求f(x)的值域．解：(1)利用描点法，作出f(x)的图像，如图所示．(2)由于f＝，结合此函数图像可知，使f(x)≥的x的取值范围是∪.(3)由图像知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0，1]，当x>1或x<－1时，f(x)＝1.所以f(x)的值域为[0，1]．[B级 综合运用]11．(多选)已知函数f(x)＝关于函数f(x)的结论正确的是( )A．f(x)的定义域为RB．f(x)的值域为(－∞，4)C．若f(x)＝3，则x的值是D．f(x)<1的解集为(－1，1)解析：选BC 由题意知函数f(x)的定义域为(－∞，2)，故A错误；当x≤－1时，f(x)的取值范围是(－∞，1]，当－1<x<2时，f(x)的取值范围是[0，4)，因此f(x)的值域为(－∞，4)．故B正确；当x≤－1时，x＋2＝3，解得x＝1(舍去)．当－1<x<2时，x2＝3，解得x＝或x＝－(舍去)．故C正确；当x≤－1时，x＋2<1，解得x<－1，当－1<x<2时，x2<1，解得－1<x<1，因此f(x)<1的解集为(－∞，－1)∪(－1，1)，故D错误，故选B、C.12．已知f(x)＝则不等式xf(x)＋x≤2的解集是( )A．{x|x≤1}B．{x|x≤2}C．{x|0≤x≤1}D．{x|x＜0}解析：选A 当x≥0时，f(x)＝1，xf(x)＋x≤2⇔x≤1，所以0≤x≤1；5
当x＜0时，f(x)＝0，xf(x)＋x≤2⇔x≤2，所以x＜0，综上，x≤1.13．若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域是________．解析：由题意知f(x)＝画出图像，如图所示．由图易得值域为(－∞，1]．答案：(－∞，1]14．已知f(x)＝g(x)＝.(1)当1≤x<2时，求g(x)的解析式；(2)当x∈R时，求g(x)的解析式，并画出其图像；(3)求方程xf(g(x))＝2g(f(x))的解．解：(1)当1≤x<2时，x－1≥0，x－2<0，∴g(x)＝＝.(2)当x<1时，x－1<0，x－2<0，∴g(x)＝＝1；当x≥2时，x－1>0，x－2≥0，∴g(x)＝＝2.故g(x)＝其图像如图．(3)∵g(x)>0，∴f(g(x))＝2，x∈R.当x<0时，g(f(x))＝g(1)＝；当x≥0时，g(f(x))＝g(2)＝2.∴方程xf(g(x))＝2g(f(x))，即x2＝5
解得x＝－或x＝2.[C级 拓展探究]15．对定义域分别是Df，Dg的函数y＝f(x)，y＝g(x)，规定：函数h(x)＝(1)若函数f(x)＝－2x＋3，x≥1；g(x)＝x－2，x∈R，写出函数h(x)的解析式；(2)求(1)中函数h(x)的最大值．解：(1)h(x)＝(2)当x≥1时，h(x)＝－2x2＋7x－6＝－2＋，∴h(x)≤.当x＜1时，h(x)＜－1，∴当x＝时，h(x)取最大值且最大值是.5
