二次函数与一元二次方程、不等式[A级 基础巩固]1．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是( )A. B.C．∅D.解析：选D 原不等式可化为(3x＋1)2≤0，∴3x＋1＝0，∴x＝－.2．在R上定义运算⊗：a⊗b＝ab＋2a＋b，则满足x⊗(x－2)＜0的实数x的取值范围为( )A．{x|0＜x＜2}B．{x|－2＜x＜1}C．{x|x＜－2或x＞1}D．{x|－1＜x＜2}解析：选B ∵x⊗(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2＜0，∴x2＋x－2＜0，即(x－1)(x＋2)＜0，解得－2＜x＜1，故选B.3．(多选)下列不等式中解集是R的是( )A．－x2＋x－1＜0 B．4x2＋4x＋1≥0C．x2－5x＋6＞0D．(a2＋1)x2＋ax－1＞0解析：选AB －x2＋x－1＜0⇒x2－x＋1＞0，Δ＝1－4＜0，∴A中不等式的解集为R；4x2＋4x＋1≥0⇒(2x＋1)2≥0⇒x∈R，∴B中不等式的解集为R；不等式x2－5x＋6＞0中Δ＝25－4×6＝1＞0.∴C中不等式的解集不是R；不等式(a2＋1)x2＋ax－1＞0中Δ＝a2－4(a2＋1)×(－1)＝5a2＋4＞0，∴D中不等式的解集不是R.故选A、B.4．若不等式ax2－x－c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y＝ax2－x－c的图象为( )5
解析：选B 因为不等式的解集为{x|－2<x<1}，所以a<0，排除C、D，又与坐标轴交点的横坐标为－2，1，故选B.5．设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)<0的解集为( )A.B．{x|x>a}C.D.解析：选A ∵a<－1，∴a(x－a)<0⇒(x－a)·>0.又a<－1，∴>a，∴x>或x<a.6．若关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0的解集中，恰有3个整数，则实数a的取值范围是__________________．解析：原不等式可等价为(x－a)(x－1)＜0，不等式解集中恰有3个整数，当a＞1时，4＜a≤5；当a≤1时，－3≤a＜－2.所以实数a的取值范围是{a|－3≤a＜－2或4＜a≤5}．答案：{a|－3≤a＜－2或4＜a≤5}7．已知集合M＝{x|－9x2＋6x－1＜0}，N＝{x|x2－3x－4＜0}，则M∩N＝________________________________________________________________________.解析：由－9x2＋6x－1＜0，得9x2－6x＋1＞0，所以(3x－1)2＞0，解得x≠，即M＝.由x2－3x－4＜0，得(x－4)(x＋1)＜0，解得－1＜x＜4，即N＝{x|－1＜x＜4}．所以M∩N＝.答案：8．若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象与x轴的两个交点为(－1，0)和(3，0)，5
则不等式ax2＋bx＋c<0的解集是________．解析：根据二次函数的图象(图略)知所求不等式的解集为{x|x>3或x<－1}．答案：{x|x>3或x<－1}9．解不等式组解：由4－x2≤0，解得x≥2或x≤－2；由2x2－7x－15＜0，解得－＜x＜5.∴即解得2≤x＜5.∴不等式组的解集为{x|2≤x＜5}．10．若关于x的不等式ax2＋3x－1＞0的解集是，(1)求a的值；(2)求不等式ax2－3x＋a2＋1＞0的解集．解：(1)依题意，可知方程ax2＋3x－1＝0的两个实数根为和1，＋1＝－，×1＝－，解得a＝－2.(2)因为a＝－2，所以原式可化为－2x2－3x＋5＞0，2x2＋3x－5＜0.因为2x2＋3x－5＝0有两根为x1＝1，x2＝－，所以不等式的解集为.[B级 综合运用]11．已知关于x的不等式x2－ax－b＜0的解集是{x|2＜x＜3}，则a＋b的值是( )A．－11 B．11C．－1D．1解析：选C 若关于x的不等式x2－ax－b＜0的解集是{x|2＜x＜3}，则2，3是方程x2－ax－b＝0的根，故a＝5，b＝－6，故a＋b＝－1，故选C.12．(多选)解关于x的不等式：ax2＋(2－4a)x－8＞0，下列说法正确的是( )A．当a＝0时，不等式的解集为{x|x＞4}5
B．当a＞0时，不等式的解集为C．当a＝－时，不等式的解集为RD．当a＝－1时，不等式的解集为{x|2＜x＜4}解析：选ABD 不等式ax2＋(2－4a)x－8＞0可化为(ax＋2)(x－4)＞0，当a＝0时，不等式的解集为{x|x＞4}，故A正确．当a＞0时，不等式的解集为，故B正确；当a＝－时，不等式为x2－4x＋8＜0，Δ＝(－4)2－4××8＝0，不等式的解集为空集，故C错误．当a＝－1时，不等式为x2－6x＋8＜0，不等式的解集为{x|2＜x＜4}，故D正确．13．已知x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集内，则k的取值范围是________．解析：x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集内，把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，解得k≥4或k≤2.答案：{k|k≥4或k≤2}14．若不等式(1－a)x2－4x＋6＞0的解集是{x|－3＜x＜1}．(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a＞0；(2)b为何值时，ax2＋bx＋3＞0的解集为R?解：(1)由题意知1－a＜0，且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，∴解得a＝3.∴不等式2x2＋(2－a)x－a＞0，即为2x2－x－3＞0解得x＜－1或x＞.∴所求不等式的解集为.(2)ax2＋bx＋3＞0，即为3x2＋bx＋3＞0，5
若此不等式解集为R，则Δ＝b2－4×3×3＜0，∴－6＜b＜6.[C级 拓展探究]15．已知函数y＝ax2－(2a＋1)x＋2.(1)当a＝2时，解关于x的不等式y≤0；(2)若a＞0，解关于x的不等式y≤0.解：(1)当a＝2时，y≤0，即2x2－5x＋2≤0，可得(2x－1)(x－2)≤0，∴≤x≤2，∴y≤0的解集为.(2)不等式y≤0即ax2－(2a＋1)x＋2≤0，可化为a(x－2)≤0.①当0＜a＜时，有＞2，解得2≤x≤；②当a＝时，有＝2，解得x＝2；③当a＞时，有＜2，解得≤x≤2.综上：当0＜a＜时，不等式的解集为；当a＝时，不等式的解集为{x|x＝2}；当a＞时，不等式的解集为.5
