二次函数与一元二次方程、不等式的应用(习题课)[A级 基础巩固]1．不等式＜0的解集为( )A．{x|x＞－1且x≠0} B．{x|x＜－1或0＜x＜1}C．{x|－1＜x＜0}D．{x|x＜－1}解析：选D 因为＜0，所以x＋1＜0且x≠0，解得x＜－1.故选D.2．不等式＜的解集是( )A．{x|x＜2}B．{x|x＞2}C．{x|0＜x＜2}D．{x|x＜0或x＞2}解析：选D 不等式＜等价于－＜0，等价于＜0，等价于2x(2－x)＜0，解得x＜0或x＞2.故选D.3．某商品在最近30天内的价格m与时间t(单位：天)的函数关系是m＝t＋10(0<t≤30，t∈N)；销售量y与时间t的函数关系是y＝－t＋35(0<t≤30，t∈N)，则使这种商品日销售金额不小于500元的t的范围为( )A．{t|15≤t≤20}B．{t|10≤t≤15}C．{t|10<t<15}D．{t|0<t≤10}解析：选B 由日销售金额为(t＋10)(－t＋35)≥500，解得10≤t≤15.4．(多选)下列不等式中，与不等式＜2解集相同的是( )A．(x＋8)(x2＋2x＋3)＜2B．x＋8＜2(x2＋2x＋3)C.＜D．2x2＋3x－2＞0解析：选BD 依题意，注意到x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2＞0，因此不等式＜2等价于x＋8＜2(x2＋2x＋3)，化简得2x2＋3x－2＞0.故选B、D.5．若kx2－6kx＋(k＋8)≥0对一切x∈R恒成立(k为常数)，则k的取值范围是( )A．{k|0≤k≤1}B．{k|0＜k＜1}5
C．{k|0＜k≤1}D．{k|k＜0或k＞1}解析：选A 当k＝0时，显然8≥0恒成立；当k≠0时，则k满足即解得0＜k≤1，所以k的取值范围是{k|0≤k≤1}．故选A.6．不等式＜2的解集为________．解析：原不等式等价于x2－2x－2＜2x2＋2x＋2⇔x2＋4x＋4＞0⇔(x＋2)2＞0⇔x≠－2.∴原不等式的解集为{x|x≠－2}．答案：{x|x≠－2}7．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3000＋20x－0.1x2(0<x<240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是________台．解析：生产者不亏本时有y－25x＝－0.1x2－5x＋3000≤0，即x2＋50x－30000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去)．故生产者不亏本时的最低产量是150台．答案：1508．已知不等式(m2＋4m－5)x2＋4(1－m)x＋3＞0对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是________．解析：①当m2＋4m－5＝0时，m＝－5或m＝1.若m＝－5，则不等式化为24x＋3＞0，对任意实数x不可能恒大于0.若m＝1，则3＞0恒成立．②当m2＋4m－5≠0时，根据题意应有∴∴1＜m＜19.综上可知，{m|1≤m＜19}．答案：{m|1≤m＜19}9．若∀1≤x≤4，不等式x2－(a＋2)x＋4≥－a－1恒成立，求实数a的取值范围．解：∀1≤x≤4，不等式x2－(a＋2)x＋4≥－a－1恒成立，即∀1≤x≤4，a(x－1)≤x2－2x＋5恒成立．①当x＝1时，不等式为0≤4恒成立，此时a∈R；②当1＜x≤4时，a≤＝x－1＋.∵1＜x≤4，∴0＜x－1≤3，5
∴x－1＋≥2＝4，∴a≤4.综上，实数a的取值范围为{a|a≤4}．10．若不等式ax2＋bx－1＞0的解集是{x|1＜x＜2}．(1)试求a，b的值；(2)求不等式＞0的解集．解：(1)因为不等式ax2＋bx－1＞0的解集是{x|1＜x＜2}，所以a＜0且ax2＋bx－1＝0的解是1和2.故解得(2)由(1)得＞0，整理得到＜0，即(x－2)(3x－2)＜0，解得＜x＜2，故原不等式的解集为.[B级 综合运用]11．在R上定义运算⊗：A⊗B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊗(x＋a)＜1对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是( )A．－1＜a＜1B．0＜a＜2C．－＜a＜D．－＜a＜解析：选C (x－a)⊗(x＋a)＝(x－a)[1－(x＋a)]＝－x2＋x＋a2－a＜1对x∈R恒成立，即x2－x－a2＋a＋1＞0对x∈R恒成立，所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)＝4a2－4a－3＜0，所以(2a－3)(2a＋1)＜0，即－＜a＜.故选C.12．(多选)已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列结论正确的是( )A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是m∈{m|m＜1，或m＞9}B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正根一负根的充要条件是m∈{m|m＜0}C．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是m∈{m|0＜m≤1}D．方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根的必要条件是m∈{m|m＞1}解析：选BCD 在A中，由Δ＝(m－3)2－4m≥0，得m≤1或m≥9，故A错误；在B中，当x＝0时，函数y＝x2＋(m－3)x＋m的值为m，由二次函数的图象知，5
方程有一正根一负根的充要条件是m∈{m|m＜0}，故B正确；在C中，由题意得解得0＜m≤1，故C正确；在D中，由Δ＝(m－3)2－4m＜0，得1＜m＜9，又{m|1＜m＜9}⊆{m|m＞1}，故D正确．故选B、C、D.13．对于实数x，当且仅当n≤x<n＋1(n∈N*)时，[x]＝n，则关于x的不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集为________．解析：由4[x]2－36[x]＋45<0，得<[x]<，又当且仅当n≤x<n＋1(n∈N*)时，[x]＝n，所以[x]＝2，3，4，5，6，7，所以所求不等式的解集为{x|2≤x<8}．答案：{x|2≤x<8}14．某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S的最大允许值是多少？(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解：(1)设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，而顶部面积为S＝xy，依题意得，40x＋2×45y＋20xy＝3200，由基本不等式得3200≥2＋20xy＝120＋20xy，＝120＋20S.所以S＋6－160≤0，即(－10)(＋16)≤0，故≤10，从而S≤100，所以S的最大允许值是100平方米．(2)取得最大值的条件是40x＝90y且xy＝100，求得x＝15，即铁栅的长是15米．[C级 拓展探究]15．已知函数y＝x2－2ax＋a＋2，a∈R.(1)若方程y＝0有两个小于2的不等实根，求实数a的取值范围；(2)若不等式y≥－1－ax对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)因为方程y＝0，即x2－2ax＋a＋2＝0有两个小于2的不等实根，所以即所以a＜－1，5
故实数a的取值范围为.(2)由y≥－1－ax可得x2－2ax＋a＋2≥－1－ax，所以x2－ax＋a＋3≥0对任意x∈R恒成立，所以Δ＝a2－4(a＋3)≤0，即a2－4a－12≤0，解得－2≤a≤6.故实数a的取值范围为.5
