一元二次方程的解集及其根与系数的关系[A级 基础巩固]1．一元二次方程x2＝3x的解集是( )A．{0} B．{3}C．{－3}D．{0，3}解析：选D ∵x2＝3x，∴x2－3x＝0，∴x(x－3)＝0，解得x1＝0，x2＝3，故选D.2．用配方法解下列方程，配方正确的是( )A．2y2－4y－4＝0可化为(y－1)2＝4B．x2－2x－9＝0可化为(x－1)2＝8C．x2＋8x－9＝0可化为(x＋4)2＝16D．x2－4x＝0可化为(x－2)2＝4解析：选D A项：2y2－4y－4＝0可化为(y－1)2＝3，故A错误；B项：x2－2x－9＝0可化为(x－1)2＝10，故B错误；C项：x2＋8x－9＝0可化为(x＋4)2＝25，故C错误；D项：x2－4x＝0可化为(x－2)2＝4，故D正确．故选D.3．一元二次方程x2＋6x＋9＝0的解集情况是( )A．只有一个元素B．有两个元素C．为空集D．不能确定有几个元素解析：选A ∵Δ＝62－4×1×9＝0，∴一元二次方程x2＋6x＋9＝0有两个相等的实数根，故选A.4．关于x的一元二次方程x2＋(a2－2a)x＋a－1＝0的两个实数根互为相反数，则a的值为( )A．2B．0C．1D．2或0解析：选B 设方程x2＋(a2－2a)x＋a－1＝0两根为x1，x2，由题意知，x1＋x2＝0，即－(a2－2a)＝0，解得a＝0或a＝2，又∵x1x2＝a－1≤0，∴a≤1.故选B.5．若关于x的方程x2＋2(k＋2)x＋k2＝0的两个实数根之和大于－4，则k的取值范围是( )A．(－1，＋∞)B．(－∞，0)C．(－1，0)D．[－1，0)解析：选D 设关于x的方程x2＋2(k＋2)x＋k2＝0的两个实数根为a，b，由根与系数的关系得a＋b＝－＝－(2k＋4)．5
∵关于x的方程x2＋2(k＋2)x＋k2＝0的两个实数根之和大于－4，∴－(2k＋4)>－4，∴k<0.由Δ＝[2(k＋2)]2－4×1·k2＝16(k＋1)≥0，解得k≥－1，即k的取值范围是[－1，0)．故选D.6．若方程x2－mx＋m－1＝0的一个实数根为2，则方程的另一个实数根为________．解析：设另一个根为a.根据题意可得a＋2＝m，2a＝m－1，∴a＋2＝2a＋1，∴a＝1，∴另一个根为1.答案：17．在解方程x2＋px＋q＝0时，甲同学看错了p，解得方程的根为x1＝1，x2＝－3；乙同学看错了q，解得方程的根为x1＝4，x2＝－2，则方程中的p＝________，q＝________．解析：甲同学看错了p，但没有看错q，乙同学看错了q，但没有看错p，所以根据根与系数的关系，得q＝(－3)×1＝－3，p＝－(－2＋4)＝－2.答案：－2 －38．已知关于x的方程m(x＋a)2＋n＝0的解集是{－3，1}，则关于x的方程m(x＋a－2)2＋n＝0的解集是________．解析：把后面一个方程m(x＋a－2)2＋n＝0中的x－2看作整体，相当于前面一个方程中的x.∵关于x的方程m(x＋a)2＋n＝0的解集是{－3，1}，∴方程m(x＋a－2)2＋n＝0可变形为m[(x－2)＋a]2＋n＝0，此方程中x－2＝－3或x－2＝1，解得x＝－1或x＝3.∴关于x的方程m(x＋a－2)2＋n＝0的解集是{－1，3}．答案：{－1，3}9．若关于x的方程x2＋2x－m＋1＝0没有实数根，试说明关于x的方程x2＋mx＋12m＝1一定有实数根．解：∵方程x2＋2x－m＋1＝0没有实数根，∴此方程的判别式Δ＝22－4×1×(－m＋1)<0，解得m<0.而方程x2＋mx＋12m＝1的根的判别式Δ′＝m2－4×1×(12m－1)＝m2－48m＋4，∵m<0，∴m2>0，－48m>0.∴m2－48m＋4>0，即Δ′>0，∴方程x2＋mx＋12m＝1有两个不等的实数根，即一定有实数根．10．已知一元二次方程x2－4x＋k＝0的解集中有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；5
(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2－4x＋k＝0与x2＋mx－1＝0有一个相同的根，求此时m的值．解：(1)由一元二次方程x2－4x＋k＝0的解集中有两个不相等的实数根，得Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4k＞0，解得k＜4.(2)由k是符合条件的最大整数，得k＝3，∴一元二次方程为x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3.∵一元二次方程x2－4x＋k＝0与x2＋mx－1＝0有一个相同的根，∴当x＝1时，把x＝1代入x2＋mx－1＝0，得1＋m－1＝0，解得m＝0；当x＝3时，把x＝3代入x2＋mx－1＝0，得9＋3m－1＝0，解得m＝－.综上，m＝0或m＝－.[B级 综合运用]11．若a，b，c为△ABC的三边长，且关于x的一元二次方程(c－b)x2＋2(b－a)x＋2(a－b)＝0有两个相等的实数根，则这个三角形是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．不等边三角形解析：选A 根据题意，得Δ＝[2(b－a)]2－4(c－b)·2(a－b)＝0，(a－b)(a－b－c＋b)＝0，所以a－b＝0或a－c＝0，所以a＝b或a＝c，又c－b≠0，c≠b，所以这个三角形为等腰三角形．12．已知m，n是关于x的一元二次方程x2－2tx＋t2－2t＋4＝0的两实数根，则(m＋2)(n＋2)的最小值是( )A．7B．11C．12D．16解析：选D ∵m，n是关于x的一元二次方程x2－2tx＋t2－2t＋4＝0的两实数根，∴由根与系数的关系，得m＋n＝2t，mn＝t2－2t＋4，∴(m＋2)(n＋2)＝mn＋2(m＋n)＋4＝t2＋2t＋8＝(t＋1)2＋7.∵方程有两个实数根，5
∴Δ＝(－2t)2－4(t2－2t＋4)＝8t－16≥0，∴t≥2.∴(t＋1)2＋7≥(2＋1)2＋7＝16，即(m＋2)(n＋2)的最小值是16.13．已知关于x的方程k2x2＋2(k－1)x＋1＝0有实数根．(1)实数k的取值范围为________；(2)如果这个方程的两个实数根的倒数和的平方等于8，则实数k的值为________．解析：(1)当k＝0时，方程为－2x＋1＝0，解得x＝，符合题意；当k≠0时，Δ＝[2(k－1)]2－4k2＝－8k＋4≥0，解得k≤.综上，当k≤时，方程有实数根．(2)设方程的两个实数根为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝，所以＝＝[－2(k－1)]2＝8，解得k＝1＋或k＝1－，由(1)知当方程有两个实数根时，k≤，且k≠0，所以k＝1－.答案：(1)k≤ (2)1－14．已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－2＝0.(1)若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；(2)若方程的两个实数根为x1，x2，且(x1－x2)2＋m2＝21，求m的值．解：(1)根据题意，得Δ＝(2m＋1)2－4(m2－2)≥0，解得m≥－.∴m的最小整数值为－2.(2)根据题意，得x1＋x2＝－(2m＋1)，x1x2＝m2－2.∵(x1－x2)2＋m2＝21，∴(x1＋x2)2－4x1x2＋m2＝21，∴[－(2m＋1)]2－4(m2－2)＋m2＝21，整理，得m2＋4m－12＝0.解得m1＝2，m2＝－6.由(1)可知m≥－，∴m的值为2.[C级 拓展探究]5
15．在学习解一元二次方程之后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们也可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：方程：x2－3|x|＋2＝0.其解法为：设|x|＝y，则原方程可化为：y2－3y＋2＝0(y≥0)．解得：y1＝1，y2＝2.当y＝1时，|x|＝1，∴x＝±1；当y＝2时，|x|＝2，∴x＝±2.∴原方程的解是：x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2.上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题：(1)解方程：x4－10x2＋9＝0；(2)若实数x满足x2＋－3x－＝2，求x＋的值．解：(1)设x2＝a，则原方程可化为a2－10a＋9＝0(a≥0)，即(a－1)(a－9)＝0，解得：a＝1或a＝9，当a＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当a＝9时，x2＝9，∴x＝±3.∴原方程的解是x1＝1，x2＝－1，x3＝3，x4＝－3.(2)设x＋＝y，则原方程可化为y2－2－3y＝2，即y2－3y－4＝0，∴(y＋1)(y－4)＝0，解得：y＝－1或y＝4，即x＋＝－1(方程无解，舍去)或x＋＝4，故x＋＝4.5
